Регионален инспекторат по образованието – стара загора общински кръг на олимпиада по математика, 11 март 2006 г

а) Колко е броя на непродадените билети?

б) Намерете общо колко лева не са постъпили в касите на стадиона, ако знаете, че четвъртинката от всички непродадени билети са по 5 лв, половината от останалите са по 3 лв, а другата половина – по 8 лв.

3 зад. Обиколката на квадратен земен участък е 1 120 м. Десетинката от този участък е зеленчукова градина с форма на правоъгълник, на който едната страна съвпада със страната на квадрата. Зеленчуковата градина е заградена с дъски, а останалите три страни на земния участък с телена мрежа.

а) Колко дъски са употребени, ако за един линеен метър са необходими 7 броя дъски?

б) С колко метра дължината на мрежата е по-голяма от половин километър?

в) Четвъртинката от площта на зеленчуковата градина е засадена с краставици. С колко квадратни метра тази площ е по-голяма от 1 дка?

а) 2005+b-a

б) 2006+a+b, ако е известно още, че точка B(0, 2) е върху графиката на функцията.

3 зад. Нека ABCD е ромб с остър ъгъл при върха A равен на 60. Точките M и N са съответно върху страните му AD и CD такива, че DM+DN=AB.

а) Докажете, че триъгълникът BMN е равностранен.

б) При какво положение на M и N периметърът на DMN е най-малък?

9 клас

1 зад. Дадено е уравнението с корени x₁ и x₂. За кои стойности на параметъра p .

2 зад. Окръжност k₂ минава през центъра на окръжност k₁. Допирателните от точка P (Pk₂) към k₁ пресичат k₂ в точки M и N. Докажете, че MN е перпендикулярна на централата на окръжностите.

3 зад. Числата a, b и c удовлетворяват равенството . Докажете, че стойността на една от дробите в равенството е -1, а стойностите на всяка една от останалите две е 1.

10 клас

1 зад. Да се реши уравнението .

2 зад. Уравнението не притежава реални корени и a+b+c>0. Докажете, че:

а) Числата a, b и c са положителни;

б) От отсечките с дължини , и може да се построи триъгълник.

3 зад. Нека AB е хорда, различна от диаметъра на окръжност k с център точка O. Точка M е среда на хордата AB. Произволна хорда PQ от k е допирателна към окръжността k₁ с диаметър отсечката OM. Ако T е допирната точка на PQ с k₁, докажете че .

11 клас

1 зад. Намерете всички стойности на реалния параметър a0, за които системата има решение.

2 зад. Сумата на първите n члена на числова редица a₁, a₂, …, a_n е .

а) Докажете, че редицата е аритметична прогресия.

б) Колко еднакви члена съдържат прогресиите a₁, a₂, …, a₁₀₀ и  5, 8, 11, …?

3 зад. За триъгълна пирамида ABCO е известно, че AOB+BOC+COA>180. Докажете, че всяка една от отсечките OA, OB и OC има дължина, по-малка от полупериметъра на триъгълник ABC.

12 клас

1 зад. Дадена е функцията .

а) Намерете най-голямата и най-малката стойности на f(x) в [0, 1].

б) Докажете, че ако , то .

2 зад. Нека ,  и  са ъглите на триъгълник ABC съответно при върховете A, B и C. Докажете, че ако:

а)  :  = 1 : 2, то AC² = BC² + BC.AB.