Решете задачите:
1.Векторите и са перпендикулярни, като . Намерете и .3. Векторите и образуват ъгъл. Намерете и , ако е известно, че и .
4. Вектор сключва ъгъл със зададена ос. Намерете проекцията му върху тази ос във всеки от следните случаи: а) б) ; в) .
5. Дадени са векторите и . Намерете векторите: .
6. Да се представи векторът като линейна комбинация на векторите и .
7. Дадени са четири вектора и . Представете всеки от тях като линейна комбинация на останалите три вектора.
8. Да се провери колинеарни ли са векторите и .Да се установи кой от тях има по-голяма дължина и еднопосочни ли са или не.
9. Определете при какви стойности на и векторите и са колинеарни.
10. Да се установи дали векторите и са линейно зависими. Ако са линейно зависими, да се представи векторът като линейна комбинация на векторите и .
Скаларно произведение
Пример № 1: Даден е четириъгълник с върхове и . Да се докаже, че диагоналите му са взаимно перпендикулярни.
Решение: остатъчно е да намерим координатите на векторите и , да изразим чрез тях скаларното им произведение и да се убедим, че то е нула.
Действително, , а . Тъй като , то .
Пример № 2: Да се определи при каква стойност на , векторите и са взаимно перпендикулярни.
Решение: Векторите и са съответно с координати и .
Да изразим тяхното скаларно произведение . Тези стойности на , за които , са търсените, т.е..
Пример № 3:
Да се изчисли проекцията на вектора върху директрисата на вектора .
Решение: Ще използваме представянето . Оттук .
Пример № 4: Векторите и сключват ъгъл , като и . Да се пресметне косинусът на ъгъла между векторите и .
Решение: Според формулата , а . Аналогично намираме, че . Изчислявяме скаларното произведение .
Пример № 5: Векторът е колинеарен с вектора и сключва остър ъгъл с оста . Да се намерят координатите на , ако .
Решение: От колинеарността на и слезва, че съществува така, че , т.е. . От следва, че или , откъдето намираме . От двата противоположни вектора и с дължина и колинеарни на , трябва да се определи кой е решение на задачата. От условието за остър ъгъл следва, че , където е единичният вектор по оста . Действително, щом е остър ъгъл, то . От следва, че скаларното произведение има знака на , тъй като знаменателят в дясната страна е положителен. Но , т.е., така, че . За намираме .
Решете сами:
1.Да се изчисли скаларното произведение на векторите и , сключващи ъгъл , във всеки от следните случаи:
а) . б) . в) .
2. Даден е четириъгълник с върхове точките и . Намерете скаларните произведения::
а) . б) . в) .
3. Намерете вътрешните ъгли на триъгълник с върхове точките и .
4. Дадени са векторите и . Изчислете проекциите на всеки от тях върху директрисата на другия вектор.
5. Дадени са три вектора: , и . Изчислете .
6. Намерете вектор , колинеарен с вектора и удовлетворяващ условието .
7. Дадени са два вектора: и . Намерете вектор , ако е известно, че той е перпендикулярен на оста и удовлетворява условията и .
8. Дадени са три вектора: и . Намерете вектор , удовлетворяващ условията и .
9. Дадени са векторите и . Да се пресметнат: а) ; б) ; в) .
10. Дадени са векторите: и . Да се намерят:
а) ; б) ; в) .
В Е К Т О Р Н О П Р О И З В Е Д Е Н И Е
Пример № 1:Даден е триъгълник с върхове и . Намерете дължината на височината през върха към страната .
Решение: За да решим задачата, е достатъчно да изчислим лицето на успоредника със векторите и . Ще намерим координатите на тези вектори с координатите на тяхното векторно произведение .
Забележка: При намиране на вектора използваме формулата:
, т.е.
Лицето на успоредника е:. Тъй като , а , то .
Пример № 2: Да се изчисли синусът на ъгъла, заключен между векторите и .
Решение: От формулата определяме , където е ъгълът, заключен между векторите и .
Пресмятаме
Тогава .
Пример № 3: За вкторите и са дадени и . Да се пресметне .
Решение: Намираме , откъдето и .
Пример № 4: Векторът е перпендикулярен на векторите и и образува с оста тъп ъгъл. Да се намерят координатите на , ако .
Решение: От условието следва, че е колинеарен с вектора . Следователно ..
СКАЛАРНО ПРОИЗВЕДЕНИЕ—ОТГОВОРИ:
1.а) ; б) ; в) ; 2.а) ; б) ; в) ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9.а) ; б) ; в) ; 10.а) ; б) ; в) .
Понеже , следва, че , откъдето намиреме, че и . Тъй като ъгълът между и е тъп, следва, че или , следователно . Тогава .
Пример № 5: Дадени се векторите и . Да се пресметнат координатите на: а) ; б) .
Решение: а) . б) .
Решете сами:
1.Векторите и сключват ъгъл , като и . Да се пресметне .
2. Дадени са и . Да се пресметне .
3. Векторите и са взаимно перпендикулярни, като и . Да се пресметнат: а) ; б) .
4. Векторите и сключват ъгъл , като и . Да се пресметне: а) ; б)
5. Дадени са точките и . Да се определи лицето на.
6. Да се пресметне синусът на ъгъла, образуван от векторите и .
7. Изчислете лицето на успоредника, три последователни върха на който се намират в точките и .
8. Даден е триъгълник с върхове точките и . Намерете дължината на височината, спусната от върха към страната .
9. Намерете разстоянието от точка до правата, минаваща през точките и .
10. Да се намери вектор , който удовлетворява условието и е перпендикулярен на векторите и .
ОТГОВОРИ: 1. ; 2. ; 3.а) ; б) . 4.а) ; б) . 5. . 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
Смесено произведение:
Пример № 1:Да се докаже, че точките и лежат в една равнина.
Решение: Да разгледаме например трите вектора с общо начало точката и краища съответно точките и : .
По формулата .
Тъй като е изпълнено условието , то векторите и са компланарни. Следователно точките и лежат в една равнина.
Пример № 2: Векторите и сключват ъгъл , а и . Да се пресметне , ако и .
Решение: Смесеното произведение на векторите и изразяваме така:
където е ъгълът заключен между векторите и . Но по условие векторът е перпендикулярен на векторите и , следователно колинеарен с вектора и . Тогава .
Пример № 3: Да се докаже, че , където и са произволни числа.
Решение: Прилагаме дистрибутивния закон при скаларното произведение и получаваме:
Смесените произведения и имат стойност нула, защото векторите и и и са взаимно перпендикулярни и скаларните им произведения са равни на нула.
Пример № 4: Построен е паралелепипед върху векторите . Да се намерят:
а) Обемът на паралелепипеда.
б) Лицето на стената, образувана от векторите и .
в) Височината към същата стена.
Решение: а) ед.
б) ед.
в) .
5. Да се намери дължината на височината през върха на тетраедъра с върхове точките и .
Решение: Смесеното произведение на три вектора и е , където е обемът на паралелепипеда, построен върху векторите и . Обемът на тетраедъра, построен върху същите вектори е част от . Тъй като , то , т.е. обемът на паралелепипеда е , а обемът на тетраедъра с върхове точките и е . За да намерим височината , спусната от върха , използваме формулите .
Следователно .
Решете сами:
Сподели с приятели: |