Редици. Аритметични действия със сходящи редици

2. Редици. Аритметични действия със сходящи редици.



Дефиниция: Редица е множество от числа, елементите на което са снабдени с индекси (естествени числа), като съответствието е биективно; означение: { a_n} _n=1;

(b_n = b_n-1 + b_n-2), тук задължително трябва да се посочат началните елементи (b₀ = 0, b₁ = 1); чрез неявна дефиниция (например

c_n = n-тата цифра в десетичният запис на числото ;
Дефиниция:

Ако са дадени две редици a_n и b_n;

1. 
   Сбор на двете редици е редицата c_n = a_n + b_n;
   
2. 
   Разлика на двете редици е редицата c_n = a_n – b_n;
   
3. 
   Произведение на двете редици е редицата: c_n = a_n.b_n;
   
4. 
   Частно на двете редици (при положение, че b_n  0 за всяко
   

M  R, такова че за всяко n  N, a_n  M;

m  R, такова че за всяко n  N, m  a_n;

M  R, M > 0, такова че за всяко n  N, |a_n| M;

M  R съществува n  N, такова че |a_n| > M;

|a_n| > M;

Доказателство: с допускане на противното;
Дефиниция: Редицата a_n е безкрайно голяма, ако за всяко M > 0,

M  R, съществува N  N, такова че при n > N: |a_n|> M;

1 0 2 0 3 0 ... тя е неограничена, но не е безкрайно голяма;

точката а ( > 0);

Доказателство: Избираме ₁ = /M, където M > 0 e такова, че |a_n| < M; тогава |a_n.b_n| = |a_n|.|b_n| < ₁ . M =   a_n.b_n е безкрайно малка;

Доказателство: Избираме  > 0; съществува N  N, такова че при

n > N: |a_n|<   -  < a_n < ; нека M = max ( , a₁, a₂, …, a_N);

m = min ( -, a₁, a₂, …, a_n)  за всяко n  N: m  a_n  M  a_n – ограничена;

Доказателство: използваме предните две твърдения;

Нека b_n = 1 / a_n  b_n е безкрайно малка;

Доказателство: Нека M > 0, M = 1/ ; съществува N  N, такова че при

n > N: |a_n|> M  1/|a_n|< 1/M  |b_n|<   b_n е безкрайно малка;

Нека b_n = 1 / a_n  b_n е безкрайно голяма;

Доказателство: аналогично на предното твърдение;
Дефиниция: Казваме, че редицата a_n е сходяща и има за граница числото А (a_n клони към A), ако за всяко  > 0, съществува N  N, такова че при n > N: |a_n – A| < ;
Следствие: Ако a_n е сходяща и клони към числото A  a_n = A + _n, където _n е безкрайно малка;

n

Означения: a_n  A; lim a_n = A;

ако за всяко число М  R съществува индекс N  N, такъв че за всяко

n > N e в сила a_n > M (a_n < M);

Доказателство:

Нека границата на a_n e A.

Избираме  > 0; тогава съществува N  N, такова че при n > N,

|a_n – A|<   A -  < a_n < A + ;

нека m = min(a₁, a₂, …, a_N, A - ); M = max (a₁, a₂, …, a_N, A + );

тогава m  a_n  M за всяко n  N;
Tвърдение: Ако a_n и b_n са сходящи и с граници съответно A и B, тогава:

1. 
   a_n + b_n е сходяща и клони към A + B;
   
2. 
   a_n – b_n е сходяща и клони към A – B;
   
3. 
   a_n.b_n е сходяща и клони към A.B;
   
4. 
   при b_n  0, B  0 – a_n/b_n е сходяща и клони към A/B;
   

Избираме ₁ =  / 2 > 0; тогава съществуват N₁, N₂  N, такива че при

n > N₁, |a_n – A|< ₁ и при n > N₂, |b_n – B|< ₁;

в такъв случай при n > max (N₁, N₂) имаме:

|(a_n + b_n) – (A + B)| = |a_n – A + b_n – B|  |a_n – A| + |b_n – B| < 2.₁ = 

 a_n + b_n е сходяща и клони към A + B;

Доказателство на 2.:

Избираме ₁ =  / 2 > 0; тогава съществуват N₁, N₂  N, такива че при

n > N₁, |a_n – A|< ₁ и при n > N₂, |b_n – B|< ₁;

в такъв случай при n > max (N₁, N₂) имаме:

|(a_n - b_n) – (A - B)| = |a_n – A + B – b_n|  |a_n – A| + |B – b_n| < 2.₁ = 

 a_n - b_n е сходяща и клони към A - B;

Доказателство на 3.:

a_n – сходяща  a_n – oграничена  съществува M > 0 : |a_n|< M за всяко n  N;

Избираме ₁ =  / |2.B| > 0; тогава съществува N₁  N, такoва че при

n > N₁, |a_n – A|< ₁;

Избираме ₂ =  / (2.M) > 0; тогава съществува N₂  N, такoва че при

n > N₂, |b_n – B|< ₂;

в такъв случай при n > max (N₁, N₂) имаме:

|a_n.b_n – A.B| = |a_n.b_n – a_n.B + a_n.B – A.B| 

 |a_n.b_n – a_n.B| + |a_n.B – A.B| = |a_n|.|b_n – B| + |a_n – A|.|B| <

M.₂ + ₁.|B| = ;

 a_n.b_n е сходяща и клони към A.B;

Доказателство на 4.:

a_n – сходяща  a_n – oграничена  съществува M > 0 : |a_n|< M за всяко n  N;

нека ₀ = |B|/2 > 0; тогава съществува N  N, такова че при n > N,

|b_n - B|< ₀  B - ₀ < b_n < B + ₀  |B|/2 < |b_n| < 3.|B|/2

 c = min (|b₁|, |b₂|, …, |b_N|, |B|/2) е долна граница на |b_n|; освен това c > 0, тъй като b_n  0, B  0;

Избираме ₁ = .|B|/2 > 0; тогава съществува N₁  N, такова че при

n > N₁, |a_n – A|< ₁;

Избираме ₂ = (|B|.c/(2.M) ). > 0; тогава съществува N₂  N, такова че при n > N₂, |b_n – B|< ₂;

в такъв случай при n > max (N₁, N₂) имаме:

|a_n/b_n – A/B| = |a_n.B – b_n.A|/|b_n.B| =

|a_n.B – a_n.b_n + a_n.b_n – b_n.A|/|b_n.B|  |a_n.B – a_n.b_n|/|b_n.B| +

|a_n.b_n – b_n.A|/|b_n.B| = |a_n|.|B – b_n|/|b_n.B| + |a_n – A|/|B| <

< M.₂/c.|B| + ₁/|B| = ;

 a_n/b_n е сходяща и клони към A/B;

Доказателство:

Допускаме противното - нека A > M.

Избираме  = (M – A)/2 > 0; тогава съществува индекс N  N, такова че при n > max (N, k), |a_n – A| <   a_n > A -  = (3.A – M)/2 > M – противоречие  A  M;

Доказателство:

Аналогично на горното твърдение;
Твърдение: Ако а_n е сходяща и има граница А, b_n е сходяща и има граница B и за безброй много стойности на n имаме a_n  b_n  A  B;

Доказателство:

Допускаме, че A > B;

Нека  = (A – B)/2;

а_n - сходяща и има граница А  съществува индекс N₁  N, такъв че при n > N₁ имаме |a_n – A| < ;

b_n - сходяща и има граница B  съществува индекс N  N, такъв че при n > N₂ имаме |b_n – B| < ;

тогава при n > max (N₁, N₂) имаме:

А -  < a_n < A + , B -  < b_n < B + , но A -  = B +  

b_n < B +  = А -  < а_n, т.е. b_n < a_n – противоречие (излиза че само за краен брой е възможно a_n  b_n)  допускането не е вярно  A  B;
Теорема за полицаите: Ако а_n е сходяща и има граница D, c_n е сходяща и има граница D, a_n  b_n  c_n за n > k, k  N  b_n – сходяща и има граница D;

Доказателство:

Избираме  > 0;

тогава съществува N₁  N, такова че при n > N₁, |a_n – D| <  

D -  < a_n < D + ;

oсвен това съществува N₂  N, такова че при n > N₂, |c_n – D| <  

D -  < c_n < D + ;

в такъв случай при n > max (N₁, N₂, k) имаме:

D -  < a_n  b_n  c_n < D +   b_n е сходяща и има граница D;

1. Семинарни занятия

n

k

k

n

означение: ( ), C ; ( ) = n! / (k!.(n-k)!) = n.(n-1)…(n-k+1)/k !;

n, k  N₀;

n

n

n

n

n-k

k+1

1

n

k

1 2 1

1 4 6 4 1

0
0

n

Елементът на върха на триъгълника е ( ); елементът, който

се намира на ред n и на ляв диагонал k е точно ( ); триъгълникът на Паскал илюстрира основните свойства на биномните коефициенти; елементите в краищата са единици, а всеки един от останалите елементи е получен като сума от двата елемента стоящи над него (това е точно второто свойство);

1

n

n

n

n

n-1

0

n

n+2

n+k+1

1

2

k

0

0

( ) + ( ) + ( ) + … + ( ) = ( );

n

n

n

0

( ) + ( ) + … + ( ) = 2ⁿ;

n

n

n

n

2

( ) – ( ) + ( ) … + (-1)ⁿ( ) = 0;

n

n

n

n

0

( )² + ( )² + … + ( )² = ( );

Използваме равенството (1+x)ⁿ.(1+x)ⁿ = (1+x)²ⁿ и принципа за сравняване на коефициентите;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 4.23 Mb.
  
  Сподели с приятели: