Базис, размерност, координати

7. Базис, размерност, координати.

Нека B  V; B е базис на V, ако:

1. 
   B е линейно независима система;
   
2. 
   ℓ (B) = V, т.е. всеки вектор от V е линейна комбинация на векторите от B;
   

Нека Е = { e₁ = (1, 0, …, 0), e₂ = (0, 1, …, 0), …, e_n = (0, 0, …, 1) } ;

Тогава Е е базис на V:

1. 
   Е е линейно независима (от примера по-горе);
   
2. 
   за произволен вектор v  V, т.е. v = (₁, ₂, …, _n), _i  F,
   

Нека V = Fⁿ⁺¹[x]; тогава X = { 1, x, x², …, xⁿ } е базис на V;

Нека V = F[x]; тогава X = { 1, x, x², …, xⁿ, … } е базис (безкраен) на V;
Дефиниция: V е крайномерно, ако съществуват краен брой вектори

b₁, b₂, …, b_k, такива че ℓ (b₁, b₂, …, b_k) = V; в противен случай, V е безкрайномерно;

тогава Fⁿ, Fⁿ⁺¹[x] са крайномерни пространства;

s  1 и нека те образуват линейно независима система; ако a  V и

а  ℓ (а₁, а₂, …, a_s), тогава системата a₁, a₂, …, a_s, a е линейно независима;

Доказателство:

Нека ₁, ₂, …, _s,   F и ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _s.a_s + .a = ;

ако   0  a = -₁/.a₁ - ₂/.a₂ - … - _s/.a_s  а  ℓ (а₁, а₂, …, a_s) – противоречие   = 0  ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _s.a_s =  

₁ = ₂ = … = _s = 0, тъй като системата a₁, a₂, …, a_s е линейно независима; оказва се, че ₁ = ₂ = … = _s =  = 0  системата

a₁, a₂, …, a_s, a е линейно независима;

b_i1, b_i2, …, b_in (n  k) измежду b₁, b₂, …, b_k, които са базис на V;

Доказателство:

Нека B = (b₁, b₂, …, b_k), ℓ (B) = V, V  {  };

B съдържа ненулев вектор, тъй като ℓ (B)  {  };

Нека b_i1  B, b_i1  ;

Ако ℓ (b_i1) = V, то b_i1 е краен базис на V ( b_i1    { b_i1 } – линейно независима система) и с това твърдението е доказано;

Ако ℓ (b_i1)  V, тогава съществува вектор b_i2  B, такъв че

b_i2  ℓ (b_i1) (в противен случай ℓ (b_i1) = V); използваме лемата 

b_i1, b_i2 е линейно независима система;

Ако ℓ (b_i1, b_i2) = V, то b_i1, b_i2 е краен базис на V ( b_i1, b_i2 – линейно независима система) и с това твърдението е доказано;

Ако ℓ (b_i1, b_i2)  V, тогава съществува вектор b_i3  B, такъв че

b_i3  ℓ (b_i1, b_i2); използваме лемата 

b_i1, b_i2, b_i3 е линейно независима система;

b_i1, b_i2, …, b_in  B, които образуват линейно независима система

и ℓ (b_i1, b_i2, …, b_in) = V, т.е. b_i1, b_i2, …, b_in е краен базис на V;
Следствие: Едно ненулево линейно пространство V е крайномерно, тогава и само тогава, когато V има краен базис;

16 ноември – семинарни занятия

Нека F (x) е полином; F (x) = a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + … + a₁.x + a_o;

Нека А  M_n(R), тогава F (A) = a_n. Aⁿ + a_n-1.A^n-1 + … + a₁.A + a_o.E;
За всяка матрица А  M₂(R) е изпълнено: A² – trA.A + detA.E = O;
Дадено е, че A^k = O; да се докаже, че E – A е обратима;

Решение: Използваме тъждеството:

(E – A).(E + A + A² + … + A^k-1) = E – A^k = E 

(E – A)^-1 = E + A + A² + … + A^k-1;