Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

8. Сума на подпространства.

В общия случай (V₁  V₂, V₂  V₁) V₁  V₂ не е подпространство на V;

по тази причина вместо V₁  V₂ ще въведем сума V₁ + V₂ на двете подпространства V₁ и V₂;

Дефиниция: Сума на две подпространства V₁  V и V₂  V e

V₁ + V₂ = { v₁ + v₂ |v₁  V₁, v₂  V₂ }; V₁ + V₂ е подпространство на V, което съдържа V₁ и V₂;

Доказателство:

Нека x, y  V₁ + V₂, ,   F; по дефиниция:

x = v₁ + v₂ (v₁  V₁, v₂  V₂);

y = v₁ + v₂ (v₁  V₁, v₂  V₂);

 .x + .y = .(v₁ + v₂) + .(v₁ + v₂) = (.v₁ + .v₁) + (.v₂ + .v₂)

.v₁ + .v₁  V₁, тъй като V₁ е линейно пространство;

.v₂ + .v₂  V₂, тъй като V₂ е линейно пространство 

(.v₁ + .v₁) + (.v₂ + .v₂)  V₁ + V₂, т.е. .x + .y  V₁ + V₂ 

V₁ + V₂ е подпространство на V;

за всяко v₁  V₁ : v₁ = v₁ + ; v₁  V₁,   V₂  v₁  V₁ + V₂

 V₁  V₁ + V₂;

за всяко v₂  V₁ : v₂ =  + v₂;   V₁, v₂  V₂  v₂  V₁ + V₂

 V₂  V₁ + V₂;
Теорема: Нека V е крайномерно линейно пространство и

V₁  V, V₂  V; тогава V₁  V₂ и V₁ + V₂ са крайномерни;

dim(V₁ + V₂) = dimV₁ + dimV₂ – dim(V₁  V₂);

нека r = dim(V₁  V₂);

Избираме базис на V₁  V₂: a₁, a₂, …, a_r (ако V₁  V₂ = {  } , т.е. r = 0,

нищо не избираме);

Векторите а₁, а₂, …, a_r  V₁ и са линейно независими; от горното твърдение  съществуват b_r+1, b_r+2, …, b_k, такива че

а₁, а₂, …, a_r, b_r+1, b_r+2, …, b_k образуват базис на V₁;

а₁, а₂, …, a_r, c_r+1, c_r+2, …, c_l образуват базис на V₂;

нека M = { а₁, а₂, …, a_r, b_r+1, b_r+2, …, b_k, c_r+1, c_r+2, …, c_l } ;

a_i  V₁, V₂; b_i  V₁; c_i  V₂  M  V₁ + V₂;

Ще покажем, че ℓ (M) = V₁ + V₂;

М  V₁ + V₂; от дефиницията на линейна обвивка 

ℓ (M)  V₁ + V₂ (1);

Нека v  V₁ + V₂, т.е. v = v₁ + v₂, където v₁  V₁, v₂  V₂;

v₁ е линейна комбинация на а₁, а₂, …, a_r, b_r+1, b_r+2, …, b_k;

v₂ е линейна комбинация на а₁, а₂, …, a_r, c_r+1, c_r+2, …, c_l

 за всеки вектор v  V₁ + V₂, v  ℓ (M)  V₁ + V₂  ℓ (M) (2);

от (1) и (2)  ℓ (M) = V₁ + V₂;

Ще покажем, че M е линейно независима система вектори;

нека ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _r.a_r + _r+1.b_r+1 + _r+2.b_r+2 + … + _k.b_k +

+ _r+1.c_r+1 + _r+2.c_r+2 + … + _l.c_l =  (3), _i, _i, _i  F;

Нека a, b, c са вектори:

a = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _r.a_r  a  V₁  V₂;

b = _r+1.b_r+1 + _r+2.b_r+2 + … + _k.b_k  b  V₁;

c = _r+1.c_r+1 + _r+2.c_r+2 + … + _l.c_l  c  V₂;

oт (3)  a + b + c =   b = - a - c;

a  V₁  V₂, c  V₂  - a - c  V₂  b  V₂, но b  V₁ 

b  V₁  V₂  b = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _r.a_r, _i  F

 _r+1.b_r+1 + _r+2.b_r+2 + … + _k.b_k = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _r.a_r 

_r+1.b_r+1 + _r+2.b_r+2 + … + _k.b_k - ₁.a₁ - ₂.a₂ - … - _r.a_r = , но това е линейна комбинация на векторите от базиса на V₁ 

_r+1 = _r+2 = … = _k = 0;

(3) придобива вида:

₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _r.a_r + _r+1.c_r+1 + _r+2.c_r+2 + … + _l.c_l = ,

но това е линейна комбинация на векторите от базиса на V₂

 ₁ = ₂ = … = _r = _r+1 = _r+2 = … = _l = 0;

 М е линейно независима система вектори;

M  V₁ + V₂, М – линейно независима, ℓ (M) = V₁ + V₂;

 M e базис на V₁ + V₂  V₁ + V₂ е крайномерно,

dim(V₁ + V₂) е броят на векторите в М, т.е.

dim(V₁ + V₂) = r + (k – r) + (l – r) = k + l – r, т.е.

dim(V₁ + V₂) = dimV₁ + dimV₂ – dim(V₁  V₂);