1. Въведение в безкрайните процеси граници на редици 1 Активност: Въведение в в безкрайните процеси Предмет на активността


В6: Какъв е геометричният смисъл на диференчното частно ?



страница6/7
Дата12.03.2018
Размер1.04 Mb.
#62675
1   2   3   4   5   6   7

В6: Какъв е геометричният смисъл на диференчното частно ?
Желаният отговор е, че то дава наклона на хордата.
В7: Каква връзка може да се намери между наклона на хордата и производната?
Целта е учениците да използват Теоремата за средните стойности. Тези, които срещат трудност, могат да използват софтуера, натискайки бутона Theorem (Теорема), за да видят точката от графиката, в която допирателната е успоредна на хордата и по този начин да се насочат към Теоремата за средните стойности.
В8: Преформулирайте, ако намирате това за необходимо, и докажете предположението, което направихте в отговор на В5.

Целта на този въпрос е учениците да формулират и докажат следната теорема:

Нека е функция, непрекъсната в и диференцируема в . Тогава, ако за всяко , то е строго растяща и ако за всяко , то е строго намаляваща.

Предположенията в условието на теоремата ще се появят от използването на Теоремата за средните стойности.

Следният пример показва, че изискването за непрекъснатост в краищата на интервала не може да се изостави.
Отворете файла 4.5.5.activity.en.euc. При това можете да местите точката B успоредно на ординатната ос , изменяйки нейната ордината , и да правите вашите наблюдения.

В9: Можете ли да определите от графиката на функцията в дадения пример дали тази функция удовлетворява исзискванията от условието на горната теорема?

Нарушена ли е монотонността на функцията поради разположението на точката B?

Ако отговорът е “Да”, то по какъв начин?
Целта на този въпрос е да покаже, че изпускането на условието за непрекъснатост в крайните точки на интервала може да провали верността на твърдението на теоремата. При изходното положение на точката B функцията изпълнява условията на теоремата. Възможността да се мести вертикално точката B и изследването на монотонността на функцията за различни положения на B показва, че прекъснатостта на функцията в някоя от крайните точки на интервала може да доведе до функция, която не е строго монотонна.
В10: Опитайте се да формулирате теорема, обратна на теоремата за монотонност, формулирана след въпрос В8.
Възможността да се “обърне” дадена теорема в математиката (а и въобще произволно рационално твърдение от реалния живот) не е съвсем ясна за учениците и може би си струва да се отдели време, за да се коментира.
В11: Изследвайте дали теоремата, обратна на теоремата за монотонност, е вярна.

С работата върху този въпрос трябва да се постараем да постигнем разбиране от учениците, че е необходим контра-пример, който да показва, че обратното твърдение не е вярно.

Учениците се поощряват да формулират предположения, свързани с горния въпрос.

Следното действие може да им помогне в отговора на В11.




Отворете 4.5.6.activity.en.euc , така че да се появи графиката на функцията . Можете да движите с мишката точката A по графиката, за да наблюдавате промяната на наклона на допирателната, когато тя описва графиката на функцията.



Опитайте сега да отговорите на въпрос В11.

4.5.3 Работен лист (Анализ)

Приложения на теоремата за монотонност при изследването на функции
В тази работна страница се задава формула за функцията, изразяваща големината на популацията в стадо елени в зависимост от времето и от учениците се иска да определят интервалите на монотонност, както и локалните максимуми и минимуми на тази функция.

ЗАДАЧА

Големината на популацията в стадо елени като функция на време-то се задава с функцията

,

където .

Как можем да определим:

Α) Периодите от време, в които популацията расте или намалява?

Б) Моментите, в които тя достига моментен максимум или минимум?

C) Моментите, в които тя има максимална или минимална стойност за целия период от време, който изследваме?
В1: Можете ли да определите интервалите на монотонност и екстремумите на функцията ?
Прилагането на теоремата за монотонност трябва да наложи диференцирането на функцията, последвано от намирането на нулите на производната (чрез факторизация или използвайки метода на Хорнер) и решаването на съответното неравенство от 3-та степен. Ако някои ученици срещнат трудности при пресмятанията, намесата на учителя и/или разделянето на учениците на групи може да ускори процеса.
В2: За всеки интервал, определен в отговор на въпроса В1, запълнете празните полета в долната таблица на измененията със знака на производната (+ или -), както и със символите или , указващи съответно строго растене или строго намаляване на функцията.



































В3: В кои интервали функцията, дадена по-горе, е строго растяща и в кои – строго намаляваща?


В4: За кои стойности на променливата функцията притежава локален екстремум?


В5: Има ли функцията глобални екстремуми?

Ако “Да”, за кои стойности на променливата ?


В6: Можете ли да отговорите на въпросите (Α), (Б) and (В) от оригиналната задача за популацията в стадото елени?


В7: Можете ли да начертаете примерна графика на функция , чиято производна удовлетворява условията от таблицата:


































Обратната възможност, а именно да се извлекат от знака на производната някои характеристики на графиката на функцията и нулите на производната й, могат да обогатят познанията на учениците за тази връзка.



5. ВЪВЕДЕНИЕ В ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛ

5.1 Активност: Въведение в определения интеграл
Съдържание на активността:

Настоящата активност въвежда учащите се в понятието Рима­нов инте­грал чрез пресмятане на лицето на параболичен сегмент,



Цели на активността:

  • Активността цели:

  • Да доведе учащите се до пресмятане на лицето на кри­во­ли­ней­на равнинна фигура.

  • Да доведе до интуитивно разбиране на процеса на апроксимация на въпросното лице чрез Риманови суми.

  • Да осъществи аритметично, символно и геометрично осъще­ствя­ва­не на апроксимационния процес.

Методология на активността:

Изследванията показват, че много от учащите се, макар и спо­соб­ни да изчисляват определени интеграли, не са наясно със сми­съ­ла на това понятие. В настоящата активност, като се изчисляват лица на равнинни фигури, чиито лица не могат да бъдат пресметнати с традиционните методи, се прави опит да се обясни на учащите се ин­туи­тивно понятието определен интеграл от непрекъсната функция. За постигане на тази цел се разглеждат съответните Риманови суми.

Активността се състои от две части. В първата част дина­мич­но­-геометричната среда осигурява онагледяване на проблема за из­чис­­ляване на лицето. Динамичните средства, като управление на броя на покриващите правоъгълници и мащабиращия прозорец, се из­пол­зват като основен начин за подпомагане на учениците да на­вля­зат в същността на въпроса.

Във втората част се изисква учениците да намерят дадено лес­но за пресмятане лице. С други думи, учениците пресмятат Рима­но­вите суми и след това определят тяхната граница. По този начин те са­мо­стоятелно осъществяват процеса, който са видели да се из­вър­шва с помощта на програмата на предния етап. В крайна сметка, ос­нов­ната цел на активността е да създаде учебна среда, която като ця­ло да до­пр­инесе, чрез управление на средствата, до изграждане на матема­ти­чес­кото съдържание на понятието определен интеграл.



Връзка на активността с учебната програма:

Активността може да бъде използвана за въведение в поня­ти­я­та криволинейна равнинна фигура и Риманов интеграл. В нея се взе­мат пред вид предишните знания на учениците за лице на право­ъгъл­ник и за граници на рационални функции. Времето за препо­да­ва­не е приблизително 1-2 учебни часа.


5.1.1 Работен лист (Анализ)

Пресмятане на лицето на параболичен сегмент A
Намирането на лице на фигура, заградена от графиката на функция и ос­та x, има неочаквано голям брой приложения. Например, както е из­вес­тно от физиката, лицето на областта, заградено от скоростта ка­то функция на времето, абсцисната ос, и вертикалните отсечки x=t1, x=t2 , се равнява на разстоянието, изминато за съот­вет­ния времеви интервал.
ЗАДАЧАТА
Да се намери начин за пресмятане на лицето на полу­па­раболичната област ABCD, ограничена от трите от­сеч­ки AB, AD, BC, и дъгата от парабола CD.

В1: Какви са според вас най-простите задачи от този вид?
Ако например вместо параболата вземем графика на линейна функция, ще можете ли да пресметнете лицата на съответните фигури?

i. или ii.









В2: i. За кои равнинни фигури вие знаете как се изчисляват

ли­ца­та?.

ii. Дайте формули за лицата на гореспоменатите фигури.

В3: Може ли да се използват тези фигури и съответните формули за изчисляване на лицето на съответната параболична област? Защо?
В4: Можете ли да посочите правоъгълник, който да има по-

малко лице от параболичната област, и друг правоъгълник със същата основа, имащ по-голямо лице?

Целта на въпроса е подскаже на учениците да разглеждат правоъгълници с една и съща основа. Друга възможна формулировка на въпроса В4, подканваща учениците да намерят подходяща геометрична форма, би могла да бъде:

“Как може да се свърже търсеното лице с лицата на някои прости геометрични фигури, лесни за пресмятане?”

Отворете файла 5.1.1.activity.en.euc. Про­менете (ако е необходимо) параметъра n, показващ броя на покриващите пра­во­ъ­гъл­ници, като го направите равен на 1.


Може да използвате брояча, показващ лицето, за да дадете първата оценка (чрез двойно неравенство) на лицето E на въпросната област.
В5: Попълнете празните места с числата, намерени по-горе:

i.

ii. Разликата между горната и долната оценка е:




В6: Как можете да дадете по-добра апроксимация за лицето от въпроса В5?

Друга формулировка на въпроса би могла да бъде: как трябва да ра­бо­тим, за да направим колкото се може по-малка разликата между гор­ната и долната оценка?


Параметърът n управлява броя на покриващите пра­воъгълници, под и над графиката на функ­ци­ята, построени от софтуера. Дайте на този па­ра­метър стойност n=2, за да построите 2 по­кри­ващи правоъгълника.

Броячите на лицата и на екрана показват су­ма­та на лицата на правоъгълниците, съот­вет­но лежащи над и под графиката. Те се наричат Ри­ма­нови суми.



В7: Може ли да посочите начина, по който сумите и се изчисляват от програмата?


В8: Можете ли да определите начин за по-добра апроксимация

на въпросното лице. Използвайте екранните броячи, за да получите горните и долни Риманови суми.

Запълнете празните места с числата, намерени по-горе:

i.

ii. Разликата между горната и долна суми е:



В9: Можете ли да намерите по-добра апроксимация на въпросното лице E ?

Друга формулировка на въпроса би могла да бъде: Как може да се продължи процесът, за да се получи още по-малка разлика между горната и долната оценка на въпросното лице?



С помощта на параметъра n, използван по-горе, променете броя на правоъгълниците с еднакви основи, покриващи интервала [0,10], до n=5.
В10: Можете ли да намерите трета (и дори по-добра) апрокси-

мация за въпросното лице ? Използвайте екранните броячи, за

да получите горните и долни Риманови суми.

Запълнете празните места с числата, намерени по-горе:

i.

ii. Разликата между горната и долна суми е:



В11: Какъв трябва да бъде броят n на правоъгълниците, за да

получите апроксимация на лицето с точност до цяло число?

Запълнете празните места с числата, намерени по-горе:

i.

ii. Разликата между горната и долна суми е:


Чрез натискане на бутона Magnification (Увеличение) се предизвиква появата на увели­ча­ващия прозорец. Използвайте този инструмент, за да добиете пред­ста­ва за точността на покриването на параболичната област с право­ъгъл­ници. Коефициентът на увеличение може да се променя според не­­об­­ходимостта.
В12: Какво забелязвате при наблюдаване на разликата между

лицата на горните и долни правоъгълни фигури в увеличаващия прозорец при увеличаване на броя n на правоъгълниците?
В13: Можете ли да намерите апроксимация на лицето E с точност до първия знак след десетичната точка? Как?

Запълнете празните места с числата, намерени по-горе:

i.

ii. Разликата между горната и долна суми е:






В14: Запълнете празните места в следната таблица със стойностите, намерени по-горе.


n

Sn

sn

Разлика : Dn = Sn-sn

1

120.3180

40.7000

79.6180

2










5










115










809










2516










11096










281068










Когато променяте броя на покриващите правоъгълници:



В15: Каква промяна се забелязва в стойностите на горните и

долните Риманови суми в горната таблица?

В16: Как се променя разликата Dn = Sn-sn ?

В17: Мислите ли, че този процес може да доведе до напълно пресмятане на търсеното лице?

Вместо това, учителят може да постави въпроса: възможно ли е да се на­ме­ри такава стойност на n, така че горната и долна Риманови суми да съвпадат ?



В18: Смятате ли, че този процес някога ще бъде завършен?


В19: Според вас, до кое число ще се доближава разликата

Dn = Sn-sn ?

В20: Според вас, колко близо до нулата може да се доближи разликата Dn?

Очаква се учениците да отговорят, че разликата неограничено ще се доб­лижава до нулата при нарастване на броя на покриващите право­ъгъл­ници.





Сподели с приятели:
1   2   3   4   5   6   7




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница