Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Изтегляне 4.23 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- 12. Производна на функция – определение, геометричен и механичен смисъл.
11. Равномерна непрекъснатост.Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана в интервал ; казваме, че f (x) е равномерно непрекъсната в , ако за всяко > 0 съществува > 0, такова че от |x – x| < |f (x) – f(x)| < ; Пример: Нека f (x) = a.x + b; ще покажем, че f (x) е равномерно непрекъсната в R; Фиксираме > 0; тогава |f (x) – f (x)| = |a|.|x - x|; ясно е, че ако изберем = /|a|, ще получим |f (x) – f (x)| < при |x - x| < ;
Фиксираме > 0; тогава |f (x) – f (x)| = 2.|sin ((x - x)/2)|. . |cos ((x + x)/2)| 2.|x - x|/2.1 = |x - x|; ясно е, че ако изберем = , ще получим |f (x) – f (x)| < при |x - x| < ; Нека f (x) = x2; ще покажем, че f (x) не е равномерно непрекъсната в R; Допускаме, че f (x) е равномерно непрекъсната;
.|x + x| < ; това неравенство очевидно се нарушава за достатъчно големи стойности за x и x f (x) не е равномерно непрекъсната; Теорема (на Кантор): Нека функцията f (x) е дефинирана и непрекъсната в крайния затворен интервал [a, b]; тогава f (x) е равномерно непрекъсната; Доказателство: Допускаме противното; нека > 0 е такова, че за всяко > 0 съществуват x, x такива че, |x - x| < и |f (x) – f (x)| ; избираме 1 = 1; тогава можем да изберем x1, x1, такива че |x1 - x1| < 1 и |f (x1) – f (x1)| ; избираме 2 = 1/2; тогава можем да изберем x2, x2, такива че |x2 - x2| < 2 и |f (x2) – f (x2)| ; … избираме n = 1/n; тогава можем да изберем xn, xn, такива че |xn - xn| < n и |f (xn) – f (xn)| ; … Получаваме две редици { xn} и { xn}, които са ограничени ( [a, b]) по Болцано-Вайерщрас можем да изберем сходящи подредици { xnk} и { xnk}; нека { xnk} C; известно е, че |xnk - xnk| < 1/nk xnk – 1/nk < xnk < xnk + 1/nk; тъй като 1/nk 0 при k , по теоремата за полицаите получаваме, че { xnk} C; тъй като f (x) е непрекъсната в [a, b] { f (xnk)} f (C) и { f (xnk)} f (C) { f (xnk) – f (xnk) } 0 при k , което очевидно е в противоречие с |f (xnk) – f (xnk)| за всяко k N f (x) е равномерно непрекъсната в [a, b];
Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката x0; изразът (f (x) – f (x0))/ (x – x0), където x , x x0 се нарича диференчно частно на функцията f (x) в точката x0; друг начин на записване е (h = x – x0) (f (x0 + h) – f (x0))/h; Дефиниция: Нека функцията f (x) е дефинирана в околност на точката x0; казваме, че функцията f (x) е диференцируема в точката x0, ако съществува границата на диференчното частно при x x0; тази граница се бележи с f (x0) и се нарича производна на функцията f (x) в точката x0; Примери: Нека f (x) = C за всяко x R; нека x0 R; тогава диферeнчното частно е (f (x) – f (x0)) / (x - x0) = 0 границата му при x x0 e 0 f (x0) = 0 f (x) = 0 за всяко x R; Нека f (x) = x, x R; нека x0 R; тогава диференчното частно е (f (x) – f (x0))/(x – x0) = (x – x0)/(x – x0) = 1 граница му при x x0 е 1 f (x0) = 1 f (x) = 1 за всяко x R; Нека f (x) = |x|, x R; ще покажем, че f (x) не е диференцируема в точката 0; разглеждаме диференчното частно (|x| - |0|)/(x – 0) = = |x|/x; при x > 0 границата му е 1, а при x < 0 границата е –1 границата при x 0 не съществува f (x) няма производна в точката 0;
f (x) е диференцируема в точката x0 f (x) е непрекъсната в x0; Доказателство: нека { xn} е произволна редица, която клони към x0; тогава f (xn) – f (x0) = (xn – x0).(f (xn) – f (x0))/(xn – x0); първият множител клони към 0, а вторият клони към f (x0) f (xn) – f (x0) 0 { f (xn) } f (x0) при n по Хайне f (x) е непрекъсната;
(f (x0).g (x0) - f (x0).g (x0))/(g (x0)2); Доказателство на 1.: ( (f (x) + g (x)) – (f (x0) + g (x0)) )/ (x – x0) = ( f (x) – f (x0) )/(x – x0) + ( g (x) – g (x0) )/(x – x0) f (x0) + g (x0) при x x0; Доказателство на 2.: ( (f (x) - g (x)) – (f (x0) - g (x0)) )/ (x – x0) = ( f (x) – f (x0) )/(x – x0) - ( g (x) – g (x0) )/(x – x0) f (x0) - g (x0) при x x0; Доказателство на 3.: тъй като f (x) е диференцируема в x0 f (x) е непрекъсната в x0; ( f (x).g (x) – f (x0).g (x0) )/(x – x0) = ( f (x).g (x) – f (x).g (x0) + f (x).g (x0) – f (x0).g (x0) )/(x – x0) = f (x). (g (x) – g (x0))/(x – x0) + g (x0).(f (x) – f (x0))/(x – x0) f (x0).g (x0) + g (x0).f (x0) при x x0, тъй като функцията f (x) е непрекъсната в точката x0; Доказателство на 4.: g (x) е диференцируема в точката x0 g (x) е непрекъсната в точката x0; тъй като g (x0) 0 и g (x) – непрекъсната в x0 съществува околност на x0, в която g (x) 0; Лема: производната на 1/g (x) при x x0 е -g (x0)/(g (x0))2; Доказателство: (1 / g (x) – 1/ g (x0) / (x – x0) = (g (x0) – g (x))/((x – x0).g (x).g (x0)) - g (x0)/g (x0)2 при x x0, тъй като g (x) е непрекъсната в x0; по свойство 3. получаваме, че производната на f (x)/g (x) = f (x).1/g (x) в точката x0 е f (x0)/g (x0) – f (x0).g (x0)/g (x0)2 = ( f (x0).g (x0) – f (x0).g (x0) )/ g (x0)2; |