Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Теорема на Рол. Теорема за крайните нараствания. Обобщена теорема за крайните нараствания
Изтегляне 4.23 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Дефиниция
- Теорема ( на Рол )
- Теорема за крайните нараствания ( на Лагранж )
- Следствие 1 ( основна теорема на интегралното смятане )
- Следствие 2
- Следствие 3
14. Теорема на Рол. Теорема за крайните нараствания. Обобщена теорема за крайните нараствания.Дефиниция: Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0; казваме, че f (x) има локален максимум в точката x0, ако съществува околност U на x0, такава че f (x0) f (x) за всяко x U; Дефиниция: Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0; казваме, че f (x) има локален минимум в точката x0, ако съществува околност U на x0, такава че f (x0) f (x) за всяко x U; Локалните минимуми и максимуми се наричат локални екстремуми; Теорема (на Ферма): Нека f (x) е дефинирана в околност на точката x0 и f (x) е диференцируема в точката x0; тогава ако f (x) има локален екстремум в точката x0, f (x0) = 0; Доказателство: Нека за определеност f (x0) е локален максимум за f (x); разглеждаме диференчното частно (f (x0 + h) – f (x0))/h; нека h 0 с положителни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h > 0 диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (1) нека h 0 с отрицателни стойности; тогава f (x0 + h) – f (x0) 0, h < 0 диференчното частно е 0 след граничен преход f (x0) 0; (2) от (1) и (2) получаваме, че f (x0) = 0;
Доказателство: Функцията f (x) е непрекъсната в [a, b] по теоремата на Вайерщрас f (x) е ограничена в [a, b]; нека m е най-малката стойност и М е най-голямата стойност на f (x); Ако m = М, от m f (x) М f (x) е константа за всяко x [a, b] f (x) = 0 за всяко x (a, b) и теоремата е доказана; Ако m < M, тогава по теоремата на Вайерщрас съществуват две точки x1 и x2, такива че f (x1) = m, f (x2) = M; поне една от тези две точки е вътрешна за интервала [a, b] – в противен случай ще получим, че m = M = f (a) = f (b), което е противоречие; ако x1 (a, b), тогава x1 е локален екстремум f (x1) = 0 по теоремата на Ферма; ако x1 = a или x1 = b, тогава x2 (a, b) е локален екстремум и f (x2) = 0 по теоремата на Ферма; с това теоремата е доказана; Теоремата на Рол има следния геометричен смисъл: ако f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b], диференцируема в отворения интервал (a, b) и f (a) = f (b), то върху графиката на функцията f (x) има поне една точка, в която допирателната е успоредна на Ox;
(a, b), такова че f (b) – f (a) = f ().(b – a); Доказателство: Да отбележим, че при f (a) = f (b) получаваме теоремата на Рол, която е частен случай на теоремата на Лагранж; Разглеждаме функцията g (x) = f (x) – k.x, където k = (f (b) – f (a))/(b – a); в такъв случай g (a) = g (b); действително g (a) = g (b) f (a) – k.a = f (b) – k.b f (b) – f (a) = k (b – a), което очевидно е изпълнено; освен това g (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и g (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол съществува (a, b), такова че g () = 0 f () – k = 0 f (b) – f (a) = f ().(b – a); Теоремата на Лагранж има следния геометричен смисъл: ако f (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и диференцируема в отворения интервал (a, b), то върху графиката на функцията f (x) има поне една точка, в която допирателната е успоредна на правата, която съединява точките (a, f (a)) и (b, f (b));
Доказателство: Фиксираме две точки x1 < x2 ; в затворения интервал [x1, x2] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж съществува точка (a, b), такава че f (x2) – f (x1) = f ().(x2 – x1), но f () = 0 за всяко f (x1) = f (x2); точките x1 и x2 са избрани произволно f (x) е константа в ;
Доказателство: Фиксираме две точки x1 < x2 ; в затворения интервал [x1, x2] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж съществува точка (a, b), такава че f (x2) – f (x1) = f ().(x2 – x1), но f () 0 за всяко f (x1) f (x2); точките x1 < x2 са избрани произволно f (x) е растяща в ; ако неравенството е строго, т.е. f () > 0 f (x1) < f (x2) и функцията f (x) е строго монотонно растяща; Следствие 3: Нека функцията f (x) е дефинирана и диференцируема в интервал ; ако f (x) е ограничена в , тогава f (x) е равномерно непрекъсната в ; Доказателство: Тъй като f (x) е ограничена в съществува C R+, такова че |f (x)| < C за всяко x ; фиксираме две точки x1, x2 ; тогава за затворения интервал [x1, x2] очевидно са изпълнени условията на теоремата на Лагранж съществува (x1, x2), такова че f (x2) – f (x1) = f ().(x2 – x1), но |f ()| < C |f (x2) – f (x1)| < C.|x2 – x1|; фиксираме > 0; избираме = /C; тогава |f (x2) – f (x1)| < C.|x2 – x1| < C. /C = f (x) е равномерно непрекъсната в ; Aналогично твърдение имаме и за монотонно намаляващи функции;
(a, b), такова че (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f () / g (); Доказателство: Теоремата на Лагранж е частен случай на теоремата на Коши, при нея g (x) = x; Ще покажем, че g (a) g (b); действително, ако g (a) = g (b), тогава за функцията g (x) ще са изпълнени условията на теоремата на Рол съществува (a, b), такова че g () = 0, което е противоречие; Разглеждаме функцията (x) = f (x) – k.g (x), където k = (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)); в такъв случай (a) = (b); действително (a) = (b) f (a) – k.g (a) = f (b) – k.g (b) f (b) – f (a) = k.(g (b) – g (a)), което очевидно е изпълнено; освен това (x) е дефинирана и непрекъсната в затворения интервал [a, b] и (x) е диференцируема в отворения интервал (a, b); налице са условията в теоремата на Рол съществува (a, b), такова че () = 0 f () – k.g () = 0 (f (b) – f (a))/(g (b) – g (a)) = f ()/g ();
|