Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
Геометричен смисъл на производната
Изтегляне 4.23 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Механичен смисъл на производната
- Последователни производни
- 13. Диференциране на съставни функции.
Геометричен смисъл на производнатаНека функцията f (x) е дефинирана в околност на x0; ще си поставим за задача да намерим уравнение на секуща през точката M0( x0, f (x0) ) към графиката на функцията; Нека M ( x0 + h, f (x0 + h) ) е друга точка от графиката на функцията; тогава уравнението на секущата е: y = k.(x – x0) + f (x0), където с (x, y) бележим текущите координати, а k е точно диференчното частно в точката x0;
x0 x0 +h x y f(x0) M M0 Допирателна в точката М0 дефинираме като гранично положение на секущата MM0, когато M M0; функцията има допирателна в точката M0, ако коефициентите в уравнението на секущата притежават граници когато x x0; но това е така точно тогава, когато функцията е диференцируема в точката x0; в такъв случай ъгловият коефициент на секущата ще клони към стойността на производната в точката x0; получаваме, че уравнението на допирателната в точката x0 е: y = f (x0).(x – x0) + f (x0), при условие че функцията има производна в точката x0; окончателно: функцията е диференцируема в точката x0 тогава и само тогава, когато към графиката на функцията може да се прекара единствена допирателна в точката ( x0, f (x0) );
Разглеждаме една материална точка M, която се движи по права линия; да изберем начало на координатната система върху правата; считаме, че абцисата на точка M в момент t се определя от някаква функция f (t) на времето t; Да разгледаме два момента t и t0; в такъв случай както знаем от механиката изразът ( f (t) – f (t0))/ (t – t0) се нарича средна скорост в интервала от време (t0, t); границата на ( f (t) – f (t0))/ (t – t0) при t t0 се нарича средна скорост в момента t0, т.е. средната скорост в момента t0 е точно f (t0);
Нека е дадена функция f (x), която е диференцируема в някакъв интервал ; в такъв случай при фиксирано x производната е някакво число, което зависи от x и е еднозначно определено от x; тогава можем да считаме, че производната е също функция на x; ако функцията f (x) е диференцируема, казваме че f (x) е два пъти диференцируема и производната на f (x) наричаме втора производна на f (x) и бележим с f (x); аналогично се дефинират производни от по висок ред; n-та производна бележим с f(n); n n
n 0k 1k n n ( f (x). g (x) )( n) = ( ).f ( n)(x).g (x) + ( ).f ( n-1)(x).g (x) + … + n-1 kk nk + ( ).f (n-k)(x). g( k)(x) + … + ( ).f (x).g ( n-1)(x) + ( ).f (x).g ( n)(x); доказателството се извършва с индукция по n;
Теорема: Нека функцията f (u) е дефинирана в околност на точката u0 и f (u) е диференцируема в точката u0; нека функцията g (x) е дефинирана в околност на точката x0, g (x0) = u0 и g (x) е диференцируема в точката x0; тогава функцията F (x) = f (g (x)) е дефинирана в околност на точката x0, диференцируема в точката x0 и F (x0) = f (g (x0)).g (x0); Доказателство: Функцията F (x) е дефинирана в тази околност на x0, за която g (x) е от дефиниционната област на f (u), т.е. g (x) приема стойности в достатъчно малка околност на u0; такава околност съществува, тъй като g (x) е непрекъсната в x0 и g (x0) = u0; (F (x0 + h) – F (x0))/h = (f (g (x0 + h)) – f (g (x0)))/h; полагаме k = g (x0 + h) – g (x0), т.е. g (x0 + h) = k + u0; получаваме: (F (x0 + h) – F (x0))/h = (f (u0 + k) – f (u0))/k . (g (x0 + h) – g (x0))/h; нека h 0, тогава k = g (x0 + h) – g (x0) също клони към 0, тъй като g (x) е диференцируема в точката x0 непрекъсната в точката x0; тогава диференчното частно на F (x) в точката x0 клони към f (u0).g (x0) = f (g (x0)).g (x0); доказателството има един пропуск: то не третира случаят, когато k = 0; в такъв случай деленето на k не е дефинирано; дефинираме помощната функция (k) = (f (u0 + k) – f (u0))/k при k 0 и (k) = f (u0) при k = 0; тогава (k) е дефинирана в околност на нулата, тъй като f е дефинирана в околност на u0; освен това (k) е непрекъсната в точката 0, тъй като (k) клони към f (u0) = (0) при k 0; получаваме: (F (x0 + h) – F (x0))/h = (k) . (g (x0 + h) – g (x0))/h; при k 0 това равенство очевидно е изпълнено; при k = 0 имаме g (x0 + h) = g (x0) F (x0 + h) - F (x0) = 0, (k) = f (u0), g (x0 + h) – g (x0) = 0 равенството отново е изпълнено; след граничен преход при h 0 получаваме: F (x0) = (0).g (x0) = f (g (x0)).g (x0), тъй като (k) е непрекъсната в точката 0;
|