Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
ноември – семинарни занятия Детерминанта на Вандермонд
Изтегляне 2.43 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- 10 ноември – семинарни занятия
9 ноември – семинарни занятияДетерминанта на Вандермонд
1 1 … 1 x1 x2 … xn W (x1, x2, …, xn) = x12 x22 … xn2 … … … … x1n-1 x2n-1 … xnn-1 За i = n-1, n-2, …, 1 извършваме следната операция: умножаваме ред i с –x1 и го прибавяме към ред i+1; получаваме:
1 1 1 … 1 0 x2-x1 x3-x1 … xn-x1 W (x1, x2, …, xn) = 0 x2(x2-x1) x3(x3-x1) … xn(xn-x1) … … … … … 0 x2n-2(x2-x1) x3n-2(x3-x1) … xnn-2(xn-x1) След развиване по първи стълб и изнасяне на общ множител от всеки стълб получаваме: W (x1, x2, …, xn) = (x2-x1).(x3-x1)…(xn-x1). W (x2, x3, …, xn) = = (x2-x1).(x3-x1)…(xn-x1). (x3-x2).(x4-x2)…(xn-x2). W (x3, …, xn) = ...
1 1 … 1
x12 x22 … xn2 = x13 x23 … xn3 … … … … x1n x2n … xnn Нека 1 е детерминанта от ред n+1 и
1 1 … 1 1 x1 x2 … xn z 1 = x12 x22 … xn2 z2 … … … … … x1n x2n … xnn zn По определение: 1 = W (x1, x2, …, xn, z) = (z – x1)(z – x2)…(z – xn). W(x1, x2, …, xn) (1) Нека развием 1 по стълб n+1; получаваме: 1 = 1 . A1, n+1 + z . A2, n+1 + … + zn . An+1, n+1 Разглеждаме 1 като полином от степен n на z; Забелязваме, че A2, n+1/(-1)n+3 е точно детерминантата , но A2, n+1 e коефициентът пред z в полинома 1; от формулите на Виет и от (1) получаваме, че коефициентът пред z e равен на (-1)n-1.x1.x2…xn.(1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn). W(x1, x2, …, xn); окончателно получаваме:
= x1 . x2…xn . (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn). П (xi – xj); 10 ноември – семинарни занятияОзначения: Mn(R) – множеството от всички квадратни матрици от ред n с елементи реални числа; trA = a11 + a22 + … + ann – следа на A ( A - квадратна матрица от ред n, A = (aij) ); trA – сумата на елементите по главния диагонал; Еij – матрична единица – това е матрица, която е изцяло съставена от нули, с изключение на елемента от ред i и стълб j, който е 1; Нека A Mn(R) и A.B = B.A за всяко B Mn(R). Да се докаже, че A е скаларна (А = c.E ); Доказателство: От A.Eii = Eii.A получаваме, че A е диагонална; От А.Еij = Eij.A получаваме, че всички елементи по главния диагонал са равни, т.е. А е скаларна матрица; Да се докаже, че елементарните преобразувания на една матрица по редове могат да се реализират чрез умножаване отляво на подходяща неособена матрица; елементарните преобразувания на една матрица по стълбове могат да се реализират чрез умножаване отдясно на подходяща неособена матрица; Доказателство:
0 1 …… 0 X = …………… …… …… ……………
0 0 …… 1 X е получена от единичната матрица, като елементът в ред i и стълб i е заменен с ; ако А Mn(R), тогава X.A е матрицата, получена от А след умножаване на ред i с числото ; detX = 0 X е неособена;
 1 0 …… 0
0 1 …… 0 …………… X = ……0 1 … …………… …1 0 ……
…………… 0 0 …… 1 X е получена от единичната матрица, като са разменени местата на редовете редовете i и j; ако А Mn(R), тогава X.A е матрицата, получена от А след размяна на редовете i и j; detX = -1 0 X е неособена;
0 1 …… 0 X = ……… … …………… ……………
0 0 …… 1 X е получена от единичната матрица, като елементът в ред i и стълб j (i j) е заменен с ; ако А Mn(R), тогава X.A е матрицата, получена от А след прибавяне на ред j, умножен с числото , към ред i; detX = 1 0 X е неособена; Да се докаже, че всяка неособена матрица чрез елементарни преобразувания по редове може да се сведе до единичната матрица; ако към единичната матрица приложим тези елементарни преобразувания в същия ред ще получим обратната матрица на изходната (важи и за стълбове); Тъй като A е неособена в първия стълб на А има ненулев елемент x в ред i; разменяме ред i и ред 1; делим ред 1 на x; чрез прибавяне на ред 1, умножен с подходящо число, към всички останали редове в първия стълб на А можем да получим само нули с изключение на първия елемент, който е 1; чрез тези елементарни преобразувания сме променили детерминантата на А само по знак новополучената матрица отново е неособена можем да приложим горните операции и за стълб 2 и т.н. след прилагането им за всички стълбове ще получим единичната матрица; Като използваме предната задача, получаваме: E = (Bs . (Bs-1 . ( …( B1 . A) …) ) ), където матриците Bi са матриците с които са реализирани всичките елементарни преобразувания по редове, описани по-горе; използваме асоциативността на умножението на матрици; получаваме: Е = (Bs.Bs-1…B1) . A A-1 = Bs.Bs-1…B1 = Bs.Bs-1…B1.E = (Bs . (Bs-1 . ( …( B1 . E) …) ) ); т.е. А-1 е матрицата получена от E след прилагане на елементарните преобразувания по редове, описани по-горе;
( A | B ) ( E | A-1.B) чрез елементарни преобразувания по редове; получаваме ляво частно, защото те се реализират с умножение отляво; ( A / B ) ( E / B.A-1) чрез елементарни преобразувания по стълбове; получаваме дясно частно, защото те се реализират с умножение отдясно;
Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 2.43 Mb. Сподели с приятели:
|
1 0 …… 0
азмяна на местата на два реда – матрицата, която можем да използваме е: