Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

12 ноември

Нека V е линейно пространство над полето F;

Ако A  V, А наричаме система вектори;
Нека ℓ (A) =  U, където U  V, U  А; има такива U, например U = V;

ℓ (A) e подпространство на V, тъй като е сечение на фамилия подпространства на V; ℓ (A)  А;

ℓ (A) се нарича линейна обвивка на системата вектори А;

ℓ (A) = А  А е подпространство на V;
Твърдение:

ℓ (A) = { ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k | k  N, a_i  A, _i  F, i = 1, 2, …, k } ,

ℓ (A) е множество от всички линейни комбинации на вектори от системата А;

Доказателство:

Нека M е множеството в дясната страна на равенството;

ℓ (A) съдържа a₁, a₂, …, a_k  A (ℓ (A)  A); ℓ (A) е подпространство на V  ℓ (A) съдържа всяка линейна комбинация ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k на векторите a₁, a₂, …, a_k от А  ℓ (A)  М (1)

Нека a, b  M, ,   F;

a  M  a = ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k, a_i  A, _i  F, i = 1, 2, …, k

b  M  b = ₁.b₁ + ₂.b₂ + … + _k.b_s, a_i  A, _i  F, i = 1, 2, …, s

.a + .b = .₁.a₁ + .₂.a₂ + … + ._k.a_k + .₁.b₁ + … + ._s.b_s  M 

M e подпространство на V; за всеки вектор a  A, a = 1.a  M  A

 M  ℓ (A) (2)

от (1) и (2)  ℓ (A) = M;

Пример:

₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k = 

 ₁ = ₂ = … = _k = 0;

Системата вектори A = { a₁, a₂, a₃} е линейно зависима, тъй като

2.a₁ + 1.a₂ + (-1).a₃ = (0, 0, 0) = ;

Нека V = Fⁿ, F – произволно поле, n  N;

Системата вектори E = { e₁, e₂, …, e_n }, където

e₁ = (1, 0, …, 0); e₂ = (0, 1, …, 0); …; e_n = (0, 0, …, 1)

е линейно независима:
ако ₁, ₂, …, _n  F и ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _k.e_k = , т.е.

(₁, ₂, …, _n) = (0, 0, …, 0)  ₁ = ₂ = … = _n = 0;

1. 
   Система от един вектор a е линейно зависима, тогава и само тогава, когато а = ; доказателство: ако системата е линейно зависима  съществува   F,   0, такова че .a =   а = ; ако а = , то съществува   F (например  = 1), такова че
   

2. 
   Всяка подсистема B на линейно независима система А също е линейно независима; доказателство: нека A = { a₁, а₂, …, a_k } и за определеност B = { b₁, b₂, …, b_l}, 1  l  k; ако има ₁, ₂, …, _l  F, не всичките да са нули, и ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _l.a_l =  
   

А е линейно зависима – противоречие  всичките _i са нули 

B е линейно независима;

3. 
   Система А, съдържаща нулевия вектор  или вектори .a, .a,
   

.(.a) + (-).(.a) = ;

4. 
   Една система a₁, a₂, …, a_k е линейно зависима тогава и само тогава, когато поне един от векторите на системата е линейна комбинация на останалите вектори; доказателство: нека системата е линейно зависима  съществуват ₁, ₂, …, _k  F, не всичките нули, такива че: ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k = ;
   

a₁ е линейна комбинация на останалите вектори; нека

а₁ = ₂.а₂ + ₃.а₃ + … + _k.a_k (_i  F, i = 2, 3, …, k) 

(-1).a₁ + ₂.a₂ + ₃.a₃ + … + _k.a_k = ; -1  0  a₁, a₂, …, a_k е

линейно зависима система;
Основна лема:

Нека V е линейно пространство; b₁, b₂, …, b_k, a₁, a₂, …, a_n са вектори от V; b₁, b₂, …, b_k  ℓ (a₁, a₂, …, a_n), т.е. всеки един от векторите

b₁, b₂, …, b_k може да се изрази като линейна комбинация на векторите а₁, а₂, …, а_n; твърдим, че ако

k > n, то b₁, b₂, …, b_k е линейно зависима система;

Доказателство:

Можем да считаме, че b₁, b₂, …, b_k  , в противен случай по

свойство 3. лемата е доказана;

Провеждаме индукция по n;

База: n = 1: k  2  b₁ = ₁.a₁; b₂ = ₂.a₁; …; b_k = _k.a₁, oт свойство 3.  системата b₁, b₂, …, b_k е линейно зависима;

Стъпка: Нека n > 1 и твърдението е вярно за n-1.

b₁ = ₁₁.a₁ + ₁₂.a₂ + … + _1n.a_n

b₂ = ₂₁.a₁ + ₂₂.a₂ + … + _2n.a_n

…

b_k-1 = _{k-1, 1}.a₁ + _{k-1, 2}.a₂ + … + _{k-1, n}.a_n

_ij  F;

b₂ - _2n/_kn.b_k = ₂₁.a₁ + ₂₂.a₂ + … + _2,n-1.a_n-1

…

b_k-1 - _k-1,n/_kn.b_k = _k-1,1.a₁ + _k-1,2.a₂ + … + _k-1,n-1.a_n-1

Разглеждаме системата вектори c₁, c₂, …, c_k-1 и векторите

a₁, a₂, …, a_n-1; всеки вектор от c₁, c₂, …, c_k-1 е линейна комбинация на

a₁, a₂, …, a_n-1; k-1 > n-1 (k > n); от индукционното предположение  c₁, c₂, …, c_k-1 е линейно зависима система вектори  съществуват

₁, ₂, …, _k-1; _i  F, i = 1, 2, …, k-1, не всичките са нули, такива че:

₁.c₁ + ₂.c₂ + … + _k-1.c_k-1 =  

₁.(b₁ - _1n/_kn.b_k) + ₂.(b₂ - _2n/_kn.b_k) + … + _k-1.(b_k-1 - _k-1,n/_kn.b_k) = 

 ₁.b₁ + ₂.b₂ + … + _k-1.b_k-1 + C.b_k = , C  F; тук поне един от коефициентите ₁, ₂, …, _k-1 e различен от нула  b₁, b₂, …, b_k е линейно зависима система;

по метода на математическата индукция  твърдението е изпълнено за всяко n  N;