Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
Изтегляне 2.43 Mb.
|
- Навигация на страницата:
- Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения
12 октомври (семинарни)N-ти корени на единицата Нека z = r (cos + i . sin). По формула на Моавър получаваме:
z = r/n (cos( ( + 2k)/n ) + i . sin ( ( + 2k)/n ) ); за k = 0, 1, ..., n-1 се получават n различни комплексни числа, които повдигнати на степен n дават z Разглеждаме числото 1 = 1 . (cos 2k + i . sin 2k)
 1 = cos 2k/n + i . sin 2k/n; k = 0, 1, …, n-1
Означаваме k-тия корен на единицата с k k = cos 2k/n + i . sin 2k/n = (cos 2/n + i . sin 2/n)k = 1k N-тите корени на единицата са всичките решения на уравнението xn – 1 = 0 Д  руги зависимости за тях са k = n-k; 1 + 2 + ... + n-1 = 0
Метод на Гаус за решаване на системи от линейни уравненияa a21.x1 + a22.x2 + … + a2n.xn = b2 ………………………………… an1.x1 + an2.x2 + … + ann.xn = bn
Една система е съвместима, ако тя има решение; една съвместима система е определена, ако има точно едно решение и неопределена ако има повече от едно решение; ако няма решение системата е несъвместима;   а11 а12 ……а1n
a21 a22 ……a2n A = ………………… се нарича матрица на системата …………………
an1 an2 ……ann 
а11 а12 ……а1n b1 a21 a22 ……a2n b2 A ………………… … an1 an2 ……ann bn A - друго означение за матрица Метод на Гаус (метод на последователно елиминиране на неизвестните) На стъпка s:
такъв че ali 0); разменяме местата на ред l и ред s
След извършване на тези степки се получава триъгълна или трапецовидна матрица.
а11΄ а12 ΄… а1n΄ b1΄ 0 a22΄ … ... a2n΄ b2΄ A = 0 0 а33΄ ……... b3΄ се нарича тригълна матрица ………… ... ... ... … 0 0 …... ...0 ann΄ bn΄   
а11΄ а12 ΄…… а1n΄ b1΄ 0 a22΄ …... ... a2n΄ b2΄
…………... ... …... ... A = 0 0 …акn-s΄ … akn΄ bk΄ се нарича трапецовидна матрица 0 0 0 0. ... …... … 0 …………... ... …... … 0 0 0 0. ... …... … 0 Възможно е тези матрици да се получат в неявен вид ако на всяка стъпка сме избрали произволна променлива. Тогава триъгълната (трапецовидната) матрица може да се получи като се разменят колоните. Това, обаче, не се препоръчва, принципът на смятането е един и същ, без значение дали матрицата е в явен или неявен вид: От реда само с един ненулев коефициент изразяваме съответната променлива; от реда където тази променлива участва с точно една друга изразяваме последната и т.н. накрая получаваме всичките променливи; при трапецовидната матрица нещата са аналогични, налага се, обаче, в базовото уравнение (което съдържа повече от един ненулеви коефициенти) всички променливи с изключение на една да се параметризират и след това да започне изразяването (системата има безброй много решения в зависимост от параметрите); Възможно препятствие – на някой ред е възможно да се получи несъвместимост (0 = ненулево число), тогава и системата е несъвместима Каталог: 1kurs 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия 1kurs -> Лекции по увод в програмирането 1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране 1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1 1kurs -> Седмичен разпис Изтегляне 2.43 Mb. Сподели с приятели:
|
11.x1 + a12.x2 + ... + а1n.xn = b1
= ………………… … се нарича разширена матрица на системата