Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

Изтегляне 2.43 Mb.

страница	4/24
Дата	25.07.2016
Размер	2.43 Mb.
	#6192
Тип	Лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24

2. Основни свойства на детерминантите.

15 октомври

F – поле; А = (а_ij)  Fn_xn (n  N)

а₁₁а₁₂……а_1n

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

A =…………………

…………………

a_n₁ a_n2……a_nn

Детерминантата на тази матрица се задава с формулата:
detA =  (-1)^{[ i}¹^{, i}²^,…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... a_ni_n,

където събирането се извършва по всички пермутации i₁, i₂,…i_n на числата 1, 2, …, n; детерминантата има n! събираеми (члена), половината са със знак “+”, другата половина със знак “-“

Развитие на detA
при n = 1 det (a₁₁) = a₁₁, detA  F

пример при n = 5

a_{12 .}a_{24 .}a_{35 .}a_{41 .}a₅₂не участва в развитието, тъй като 2 4 5 1 2 не е пермутация на 1, 2, ..., n
a_{12 .}a_{24 .}a_{35 .}a_{41 .}a₅₃ – участва в detA със знак

(-1)^{[ 2 4 5 1 3 ]} = (-1)¹⁺²⁺² = (-1)⁵ = -1

Свойство: ако  = j₁, j₂,…j_n;  = k₁, k₂,…k_n са пермутации на 1, 2,..., n, то p = а_j₁_k₁. a_j₂_k₂... a_j_n_k_n, участва в detA със знак (-1)^{[ j}¹^{, j}²^,…jⁿ^]+^{[ k}¹^{, k}²^,…kⁿ^]
Доказателство:

Записваме p = а₁_i₁. a₂_i₂... a_ni_n (i₁, i₂,…i_n– пермутация) -

разменяме последователно - a_j_m_k_m<-> a_j_s_k_s; всеки път имаме транспозиция j_m<->j_s и k_m<->k_s съответно в  и в    и  променят четността си  [] + [] запазва четността си  числата [] + [] и

[1, 2, …, n] + [i₁, i₂,…i_n] са от една и съща четност, т.е. четността на

[] + [] съвпада с четността на [i₁, i₂,…i_n]; но p участва в detA със знак

(-1)^{[ i}¹^{, i}²^,…iⁿ^]= (-1)^[^^{] + [}^^] = (-1)^{[ j}¹^{, j}²^,…jⁿ^]+^{[ k}¹^{, k}²^,…kⁿ^]

Означаваме:

а₁₁а₂₁……а_n1

a₁₂ a₂₂ ……a_n2

A^t =…………………  Fn_xn

…………………

a₁_n a_2n……a_nn

A^t се нарича транспонирана матрица на А;

(А^t)^t= A; Ако А = (a_ij)_nxn, то A^t = (b_ij)_nxn, където b_ij = a_ji

Теорема: detA = detA^t
Доказателство:

detA^t =  (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱⁿ^] . b₁_i₁. b₂_i₂... b_ni_n=  (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱⁿ^] . а_i₁₁. a_i₂₂... a_i_n_n  всяко събираемо на detA^t участва и в detA и то със знак (по свойството) (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱⁿ^]⁺^{[ 1, 2, …,}ⁿ^] = (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱⁿ^], т.е. със същия знак

от (А^t)^t= A следва, че всяко събираемо на detA участва в detA^t и то със същия знак  двете развития съвпадат, т.е. detA = detA^t

2. Основни свойства на детерминантите.

Свойство 0: Триъгълна детерминанта (a_ij = 0 при j > i)

а₁₁0 …… 0

a₂₁ a₂₂ 0 … 0

а₃₁a₃₂a₃₃0…0 = a₁₁.a₂₂…a_nn

………………… (същото и при a_ij = 0 при i > j)

a_n₁ a_n2……a_nn

Доказателство: Взимаме произволен член от detA:

(-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱⁿ^] . а₁_i₁. a₂_i₂... a_ni_n; ако за някое k (1  k  n) имаме i_k > k, тогава a_ki_k= 0 и този член е равен на 0  ненулевите членове са при

i_k  k за k = 1, 2, …, n, т.е. i₁ 1  i₁ = 1; i₂ 2, i₂ i₁  i₂ = 2

и т.н. i_n = n; накрая detA = (-1)^{[ 1, 2, …, n ]} a₁₁.a₂₂…a_nn = a₁₁.a₂₂…a_nn
Нека означим

а₁₁а₁₂……а_1n

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

 =…………………

…………………

a_n₁ a_n2……a_nn

Свойство 1: Ако за някое k (1  k  n) имаме a_k₁ = a_k₂ = … = a_kn = 0, то  = 0

Доказателство:  =  (-1)^[ⁱ¹^,ⁱ²^,…ⁱ^k^,…ⁱⁿ^] . а₁_i₁. a₂_i₂... a_ki_k... a_ni_n, но a_ki_k= 0  всички събираеми се анулират, т.е.  = 0

Свойство 2: Нека за някое k (1  k  n) имаме:

a_k₁ = a_k₁ + a_k₁

a_k2 = a_k2 + a_k2

…

a_kn = a_kn + a_kn

тогава  = ₁ + ₂, където

а₁₁а₁₂……..а_1n

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

₁ =……………… …

a_k₁ a_k2……a_kn

…………………..

a_n₁ a_n2….. …a_nn

а₁₁а₁₂……… а_1n

a₂₁ a₂₂ ……. a_2n

₂ =………………… …

a_k₁ a_k2……a_kn

…………………....

a_n₁ a_n2…… …a_nn
Доказателство:

 =  (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,… i}^k^,…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... a_ki_k... a_ni_n =

 (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,… i}^k^,…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... (a_ki_k + a_ki_k)... a_ni_n =

 (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,… i}^k^,…iⁿ^] . ( а₁_i₁. a_2i₂... a_ki_k... a_ni_n + а₁_i₁. a_2i₂... a_ki_k... a_ni_n ) =

 (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,… i}^k^,…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... a_ki_k... a_ni_n +

 (-1)^{[ i}¹^{, i}²^{,… i}^k^,…iⁿ^] . а₁_i₁. a_2i₂... a_ki_k... a_ni_n = ₁ + ₂

Каталог: 1kurs
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
1kurs -> Лекции по увод в програмирането
1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
1kurs -> Седмичен разпис

Изтегляне 2.43 Mb.

Сподели с приятели:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 24