Алсадег Амхамед Милад унсс, докторант в катедра „Агробизнес”

След 1969 г. държавата стана собственик на преобладаваща част от консервната промишленост. Размерът на капиталовложенията в хранителната промишленост за периода 1980-1988 г. средногодишно е около 260 млн. динара – пето място след нефтодобива, химическата промишленост, производството на цимент и никел. Бяха построени 69 предприятия в различни райони на Джамакирията, но и досега техният капацитет се използва незадоволително, което се отразява отрицателно върху ефективността на капиталовложенията и намалява способността на консервната промишленост да конкурира вносните стоки. Например заводът Алмамура - обект на нашето изследване, е с капацитет 19 970 т, а за периода 1990-2003 г. е определена планова мощност от 14 400 до 15 726 т, а произведената продукция е едва 26-47 % от планираното количество, главно поради недостиг на суровини. Такова е положението и в останалите заводи.

Консервната промишленост на Либия ще се развива по-ефективно, като се осигурят необходимите производствени ресурси и се увеличат възможностите на управляващите отделните предприятия да вземат по-рационални решения за тяхното използване. Основно средство за решаване на икономическите задачи е методът на математическото моделиране. В тази статия показваме разработените от нас икономико-математически задачи (ИМЗ) на основата на общия модел на линейното програмиране, тяхното решение и използването му за вземане на управленски решения.

Проблемът за асортиментната структура на който и да е завод на консервната промишленост е един от най-важните [2] и сложни управленски проблеми. С решаването му се отговаря на въпросите какво, колко и как да се произвежда, т.е. да се направи избор на технологичния начин на производство на различните продукти.

Проблемът е важен, защото колкото по-добре е решен, толкова по-високи икономически резултати може да се постигнат при други еднакви условия. Сложен е, защото решаването му зависи от комплексното влияние на множество взаимно зависими фактори и условия и защото има голям брой възможни решения, от които трябва да се избере най-доброто [3].

В Либия асортиментната структура на консервните заводи може да бъде определяна най-добре чрез математически методи и съвременни компютри, при действащия сега икономически механизъм. Необходими са обаче подготвени специалисти, които да съставят съответни икономико-математически задачи за бързо и удобно получаване на варианти, осигуряващи ефективното използване на наличните условия и ресурси, а от тях управляващият да избере онзи, който според него би се оказал най-подходящ. Този проблем може да бъде решаван в дългосрочен (за 5-10 години напред) и в годишен план. Тук разработваме методическия подход за решаването на проблема в годишен аспект.

Годишната структура на произвежданите консервни продукти зависи от ясно определени фактори и условия:

• 
  общо количество на основните суровини и добавки по вид и предназначение;
  
• 
  общо количество на амбалажа по вид и размери;
  
• 
  общ размер на производствените разходи, в т.ч. лимита на валутните разходи;
  
• 
  годишен капацитет на технологичните (машинните) линии;
  
• 
  други условия, свързани с изпълнение на държавни задачи по субективни изисквания на специалистите и ръководителите на завода.
  

Постановката на задачата може да бъде в различни варианти:

• 
  Да се реши ИМЗ с лимитиране на всички необходими ресурси.
  
• 
  Без лимит за материалните и финансовите ресурси, само с ограничения за реалния капацитет на машините.
  
• 
  Комбиниран подход – някои ресурси са лимитирани, а на останалите се търси само необходимият размер.
  
• 
  Възможни са и други подходи в зависимост от целите на управлението (например за изследване влиянието на отделните фактори на производството).
  

1. С ИМЗ се търси съставът и размерът на произвежданите продукти при същите разходни нормативи, общ размер на ресурсите и капацитет на производствените линии, както е предвидено в плана на завода (съставен е производствен план от специалистите и ръководството на завода) (вж. таблица 1).

2. С решението на ИМЗ се търси съставът и размерът на произвежданите продукти при същите разходни нормативи и общ размер на производствените разходи, но лимитът за материалните ресурси и капацитетът на линиите е увеличен с 10 %.

Броят и видът на неизвестните, броят на ограниченията и тяхното математическо формулиране, критерият за оптималност и неговото формулиране зависят от конкретните условия, при които работи даден завод, и от въпросите, на които трябва да се получи отговор с решението на задачата. За един обект (предприятие) могат да бъдат съставени различни ИМЗ и, обратно, един и същ математически модел може да бъде използван за решаване на проблема в различни предприятия.

Неизвестни величини. Те означават наименование и количество на произвежданите продукти в завода по вид и размер на опаковката; размер на закупени или използвани ресурси; количество реализирана продукция по различни направления и др. Когато даден продукт може да се произвежда по различни технологични способи и трябва да се избира най-целесъобразният от икономическа гледна точка, за този продукт се включват толкова неизвестни, колкото са възможните начини за производството му. Например: в завода Алмамура гроздов сок може да се произвежда в три различни по обем бутилки – Х₁ – 0,500 литра; Х₂ – 0,250 литра и Х₃ – 0,170 литра (таблица 2 ).

Ограничения. Основните ограничения изразяват в математическа форма условията, с които трябва да бъде съобразен производственият план на завода. Колкото по-големи са различията между условията и процесите в реалния обект и ограниченията в икономико-математическата задача, толкова по-малко приложими ще бъдат резултатите от решението на математическата задача за решаването на икономическия проблем. Ето защо основно задължение на специалиста при разработването на ИМЗ е изучаването на условията и намирането на онези от тях, които обуславят икономическия проблем.

Общият икономико-математически модел, на чиято основа са съставени двете ИМЗ за заводите Алмамура и Алджебел, е следният:

F = ∑ С_jХ_j  max , ( 1 )

j€J

където:

С_j - коефициентът, който показва печалбата в динари от единица Х_j,

при дадени условия:

Капацитет на технологичните линии за една година:

∑ Х_j ≤ B_g , ( 2 )

j€ L_g

където:

B_g – капацитетът на g-та линия (т, кг, бр.).

∑ a_pjХ_j ≤ B_p , ( 3 )

j€ P

където:

a_pj – необходимите производствени разходи за единица Х_j, продукция;

B_p – лимит на разходите (общо за завода в динари).

Общото количество на захарта за една година е лимитирано.

∑ a_sjХ_j ≤ B_s , (4)

j€ S

където:

a_sj - коефициентът, който показва необходимото количество захар за единица продукт Xj  ( j€ S );

B_s - разрешеният лимит за общо количество захар.

Общото количество на суровините (плодове и зеленчуци) за една година е лимитирано.

∑ a_kjХ_j ≤ B_k , ( 5 )

j€ A_k

където:

B_k – лимитът за общото количество суровини от к-ти вид;

a_kj - коефициентът, който показва колко суровина от к-ти вид е необходима за единица продукт Xj  ( j € A_к).

Ограничения за спомагателни материали:

∑ a_vjХ_j ≤ B_v , ( 6 )

j€ N_v

където:

a_vj - коефициентът, който показва необходимите спомагателни материали от v -ти вид за единица Xj  ( j € N_v);

B_v – лимитът за общо количество спомагателни материали от v-ти вид.

Ограничения за минималния (задължителен) размер на някои от произвежданите продукти.

В ИМЗ е необходимо да се формулират и условия за задължително включване на някои неизвестни величини в оптималния базис независимо от тяхното евентуално неблагоприятно влияние върху целевата функция. Това се налага, когато трябва да се осигури производството на предварително договорираната продукция или за изпълнението на поставени държавни задачи и т.н. [4]. Ограниченията гарантират размерът на съответен продукт да не е по-малък от една предварително известна величина.

∑ Х_j ≥ Q_i , ( 7 )

j€ M_i

където:

M_i е множеството от индексите на неизвестните, осигуряващи i–тия вид продукция;

Такива ограничения се поставят от високоефективни според критерия за оптималност неизвестни величини поради невъзможност за реализиране на продукцията в по-големи количества, поради организационни и други съображения.

∑ Х_j ≤ Q’_r , ( 8 )

j€ W_r

където:

W_r е множеството от индексите на неизвестните величини, които означават r–ти вид продукция;

За автоматизирано изчисляване на различни натурални и стойностни величини, необходими за характеристика и оценка на получаваните решения, могат да се използват спомагателни неизвестни и ограничения. Ръчното изчисляване на тези величини е възможно след решаване на задачата, но е много трудоемко и не много приятно занимание [3]. Работата може да се автоматизира, като се формулират ограничения от следния вид:

_

∑ a_hjХ_j = X_h , ( 9 )

където:

a_{hj –} цената, по която се реализира единица продукция Х_j;

X_h - спомагателната (отразената) неизвестна, която показва стойността на цялата реализирана продукция.

На основата на общия вид на икономико-математическия модел са съставени ИМЗ с примерна информация за два консервни завода. В таблица 3 е показана основната матрица на задачата за завода Алмамура, а в таблица 4 – за завода Алджебел.

Заводите имат план за производството на сокове и конфитюр, разработен от специалистите и ръководството на завода при лимитирани ресурси за 2005 г. (таблица 1). С ИМЗ се търси производствен план с по-висока икономическа ефективност – при критерий печалба, като се допуска само промяна в състава и количеството на произвежданите продукти.

Икономико-математическите задачи са решавани на персонален компютър с български софтуер – ДР 16.

Решението на задачите осигурява по-висока сумарна печалба от произвежданите за една година продукти (вж. таблица 5, вариант І) при същия размер на ресурсите, колкото са в плана, разработен от специалистите на завода.

Според оптималното решение за завода Алмамура не се използват само 3,8 тона концентрат от круши за производството на сок, поради което и общото количество на произведената продукция – 14 790 т, е с 10 т по-малко в сравнение с плана на завода. Не се предвижда бутилиране на гроздов сок в бутилки от 0,250 литра, тъй като на тази линия се бутилира само сок от портокал.

Подобна е промяната и на линията за бутилки от 0,170 литра. Според плана на завода трябва да се произведат 1000 тона гроздов сок, а в оптималния план са 2410 тона, като се намаляват 1400 тона сок от портокал и 10 тона сок от круши.

ИМЗ за завода Алджебел осигурява относително по-висока печалба в сравнение с плана на завода, но общото количество продукция – 7540 т, е с 360 т по-малко. Производствените разходи са насочени към продукти с по-голяма възвръщаемост, поради което производството на сок от круши се намалява с 360 т. Не се предвижда производство на три асортимента: гроздов сок в бутилка от 0,250 литра, сок от круши – от 0,195 литра и сок от ябълки – от 0,170 литра. От мощността на линията за бутилиране на сок от 0,500 литра не се използват 360 тона.

Възниква въпрос: може ли да се увеличи печалбата само чрез промени в асортиментната структура при пълно използване капацитета на линиите и задължително производство на 7900 т продукция. Отговор на този въпрос може да се получи, като се направи малка, бърза и лека корекция в ИМЗ ( таблица 3). Добавя се ново ограничение:

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ +х₅ +х₆ + х₇ + х₈ +х₉ = 7900

Решението на задачата с тази корекция осигурява 42 140 динара печалба, която е по-висока от печалбата в плана на завода (таблица 2), като напълно се използват суровинните ресурси и капацитетът на всички линии.

(х₁ = 0; х₂ = 1014; х₃ = 1286; х₄ = 686; х₅ = 414;х₆ = 1500; х₇ = 2000;

х₈ = 1000; х₉ = 0)

На линията за пълнене на бутилки от 0,5 литра не се бутилира гроздов сок, а на линията за пълнене на бутилки от 0,170 литра не се произвежда сок от ябълки.

Програмата за решаване на икономико-математическата задача дава освен стойностите на неизвестните и друга много полезна аналитична информация. Най-голям интерес за нашия случай представляват двойнствените оценки на основните неизвестни, невключени в базиса. Те се четат в мерните единици на целевата функция на конкретната задача и се отнасят за единица неизвестна, когато в решението е равна на нула. Когато с решението на ИМЗ се търси максимум на целевата функция, двойнствената оценка показва с колко ще се намали величината й в оптималното решение, ако принудително се включи само една единица от съответната неизвестна. Колкото по-голяма е двойнствената оценка (оценката на включване), толкова по-неизгодно е съответното производство от гледна точка на приетия критерий за оптималност. Например, според решението на ИМЗ – І вариант, за Алмамура не се предвижда производство на гроздов сок в бутилки 0,250 литра (х₂) и сок от портокал в бутилки от 0,170 литра (х₆). Двойнствената оценка на х₂ е 0,46 динара, а на х₆ е 1,81 динара. Ако за изпълнение на договорни задължения или на други важни държавни задачи се налага да се произвежда гроздов сок в бутилки от 0,250 литра, за да не се намали общата печалба на завода - 86 348 динара (таблица 5), трябва да се увеличи цената и (или) да се намалят производствените разходи с величината на двойнствената оценка, за да нарасне коефициентът пред х₂ в целевата функция от 6,00 динара на 6,46 динара.

Двойнствената оценка не е постоянна величина, а е валидна в определени граници – за определен брой включени единици, след което нараства.

Програмното осигуряване позволява да се извършват всевъзможни промени в количествените параметри на модела, без да се променя неговата структура и по този начин да се експериментират различни варианти на управленско решение относно производствената програма на заводите.

По-нататък ще разгледаме ІІ вариант на ИМЗ, в който се допускат промени в производствената програма на двата завода при стриктно спазване на лимита за производствените разходи, но при по-добра организация на използване капацитета на машините – 10 % повече в сравнение с плана на завода и 10 % допустимо увеличение на лимита за количеството на суровините при същите доставни цени.

Решението на задачата с тази промяна на условията е дадено в таблица 5. Печалбата и за двата завода се увеличава спрямо плана – за завода Алмамура с 8,6 %, а за Алджебел с 11,9 % - по-висока е и в сравнение с І вариант, получен с ИММ.

За завода Алмамура са необходими с 10 % повече суровини за производство на гроздов сок и сок от портокал за сметка на намаляване количеството на суровината за сок от круши поради ограничените производствени разходи.

Технологичните линии се използват с 10 % по-добре в сравнение с плана на завода, с изключение на линията за бутилки с обем 0,5 литра (сравни таблица 1 и таблица 7).

Общото количество продукция от всички асортименти е равно на заложеното в плана на завода. Не трябва да се произвежда гроздов сок в бутилки от 0,250 литра и сок от портокал в бутилки от 0,170 литра. Тези две неизвестни имат двойнствени оценки, показани в таблица 6. В целевата функция на ИМЗ х₆ има коефициент 6. Неизвестната ще стане базисна, ако коефициентът е над границата 6,46. (Двойнствената оценка на х₆ е разликата между двете величини: 6,46 – 6 = 0,46).

Таблица 6. Диапазон на изменение на коефициентите на целевата функция без промяна на оптималното решение и стойността на целевата функция

С решението на икономико-математическите задачи се получава и информация за анализ на стабилността на оптималното решение. В таблица 8 са показани границите, между които може да се изменя коефициентът в целевата функция, и това да не води до промяна на оптималното решение. Ще се променя само стойността на целевата функция. За някои от променливите не е дадена горна граница, т.е. колкото и да се увеличава печалбата от единица продукция, оптималният план няма да се промени. Тези изделия са използвали напълно капацитета на съответната линия и за да се увеличи печалбата на завода, е необходимо да се увеличат използваните мощности.

Таблица 8. Диапазон на изменение на коефициентите на целевата функция без промяна на оптималното решение

Анализът на решените икономико-математически задачи разкрива възможностите на математическото моделиране за изследване на сложните икономически проблеми и за оценяване на комплексното влияние на изменението на производствените фактори върху поведението на производствената система. За разработването на ефективни и реални производствени програми на предприятията от консервната промишленост е необходимо всяка година да се съставят и решават ИМЗ с актуализирана информация за промените в технологията и организацията на производството, измененията на разходните нормативи, цените и ресурсното осигуряване. Предложените от нас основни матрици на задачите могат да се използват, като се извърши замяна на технико-икономическите коефициенти, целевата функция и десните страни с реални за съответния период числа и при необходимост да се добавят нови ограничения за отчитане на някои важни държавни социално-политически изисквания.

1. Георгиев, Т., и др., Оптимизиране на производството в хранителната промишленост, Земиздат, С., 1982.

2. Луканов, К., Икономика и планиране на хранително-вкусовата промишленост, УНСС, С., 1986, 347 с.

3. Николов, Н., и др., Икономико-математическо моделиране на селскостопанското производство, Земиздат, С., 1994.