Твърдение 7.4 (неравенство на Бернули). За всяко и всяко естествено число е изпълнено неравенството
.
Доказателство. Доказателството ще проведем по индукция. При неравенството става очевидно понеже се свежда до . Да допуснем, че е вярно за някое . Ще докажем, че от това следва верността му за стойност на степента . Наистина
.
От доказателството се вижда, че неравенството е строго, когато . ■
Сега да разгледаме редиците
и .
Твърдение 7.5. Редиците и имат следните свойства:
1) За всеки индекс имаме .
2) Редицата е строго монотонно растяща и ограничена отгоре, а редицата е строго монотонно намаляваща и ограничена отдолу.
3) За всички индекси и е изпълнено неравенството .
Доказателство. 1) Очевидно
.
2) Да докажем първо монотонността. Ще докажем, че , като за тази цел ще използваме неравенството на Бернули. Имаме
![](81633_html_51477464.gif)
Аналогично се доказва, че . Сега можем да напишем
,
т.е. и двете редици са ограничени.
3) Нека . Тогава, според точка 2) имаме
. ■
Твърдение 7.6. Редицата и редицата са сходящи, при което клонят към една и съща граница, чиято стойност се нарича неперово число.
Доказателство. Редицата е сходяща и клони към точната си горна граница , понеже е монотонно растяща и ограничена отгоре, а редицата е сходяща и клони към точната си долна граница , понеже е строго монотонно намаляваща и ограничена отдолу. От друга страна ако положим и , то за тези две множества, съгласно твърдение 7.5, 2), можем да приложим теоремата за отделимост, която заедно с факта
ни дава , т.е. , което доказва твърдението. ■
Общата граница на тези редици (числото на Непер) се бележи с
,
което е ирационално число 2.7182818284590452354... и представлява една от най-важните константи в математиката.
Числото не само е ирационално, но и не се явява корен на нито един полином с цели коефициенти. Такива числа се наричат трансцедентни. Другата най-известна константа в математиката =3.14159265358979323847... също е трансцедентно число. В десетична (и във всяка друга) бройна система, рационалните числа и само те се записват чрез крайна или периодична дробна част, т.е. в техния запис има проста закономерност. При ирационалните числа отсъства такава закономерност.
7. Граница и непрекъснатост на функция. Следващите определения касаят взаимното разположение на точка и множество. Нека и , . Точката се нарича вътрешна за , когато се съдържа в заедно с някоя своя -околност . Точката се нарича външна за , когато е вътрешна за допълнението . Точката се нарича гранична (контурна) за , когато не е нито вътрешна нито външна за . Точката се нарича точка на сгъстяване за , когато всяка нейна -околност съдържа точки от , различни от . Точката се нарича изолирана, когато съществува някаква нейна -околност, която не съдържа други точки от освен .
Една гранична точка може да принадлежи или да не принадлежи на множеството. Точката е външна за , когато съществува някаква нейна -околност , за която . Очевидно всяка изолирана точка е и гранична. От последното определение следва, че всяка точка е или вътрешна или външна или гранична относно дадено множество. Точката е точка на сгъстяване за тогава и само тогава, когато може да се намери редица , за която .
Едно множество се нарича крайно, когато неговите елементи са краен брой и безкрайно, когато неговите елементи са безбройно много. Множеството , , се нарича отворено, когато се състои само от вътрешни точки. Празното множество също определяме като отворено. Множеството се нарича затворено, когато неговото допълнение е отворено. Множеството , , се нарича компактно, когато е затворено и ограничено. От горните определения следва, че множеството е отворено, точно когато за всяка негова точка съществува някаква нейна -околност , за която . Eдинствените множества, които са едновременно отворени и затворени са цялото и празното множество .
Пример 7.9. Всеки отворен интервал е отворено множество и всеки затворен интервал е затворено множество. Най-полезните примери за компактни множества са ограничените и затворени интервали.
Следващото твърдение характеризира затворените множества.
Твърдение 7.7. Едно множество , , е затворено тогава и само тогава, когато съдържа всичките си точки на сгъстяване. Освен това, е затворено тогава и само тогава, когато съдържа границите на всички свои сходящи редици, т.е. когато от и следва, че . ■
Произволно обединение на отворени множества е отворено множество. Произволно сечение на затворени множества също е затворено. В общия случай произволно сечение на отворени множества може да не бъде отворено, както и произволно обединение на затворени множества може да не бъде затворено. Сечението на краен брой отворени множества е отворено и обединението на краен брой затворени множества е затворено.
Да припомним, че множеството е компактно, когато е едновременно ограничено и затворено. Следващата теорема има особено важна роля в анализа.
Теорема 7.6. Множеството е компактно тогава и само тогава, когато от всяка негова редица може да се избере сходяща подредица, чиято граница принадлежи на . ■
Тук ще разглеждаме функции , , определени в някакво подмножество на и приемащи реални стойности. Нека е дадена функцията , определена в множеството . Тогава множеството от точки в декартовата равнина от вида , където и се нарича графика на функцията .
Определение 7.5. Нека функцията е определена в някакво множество и се явява точка на сгъстяване за . Числото се нарича граница на функцията при клонящо към (или още граница на функцията в точката ), когато за всяка редица от точки , за която , редицата клони към числото . Пишем .
В горното определение е точка на сгъстяване за , следователно съществуват редици , такива, че всяко и . Да отбележим специално, че функцията не се предполага определена в самата точка .
Съществуването на граница на функция може да се определи в термините на околности на и .
Твърдение 7.8. Числото е граница на функцията при тогава и само тогава, когато за всяко съществува такова, че , винаги когато и . ■
Твърдение 7.8 дава еквивалентно определение за граница на функция в точка и затова самото то може да се разглежда и като определение.
Пример 7.10. Да разгледаме функцията
Рис. 7.7.
определена по следния начин (рис. 7.2)
![](81633_html_4a5af8df.gif)
Да разгледаме точката . Тук имаме , което добре се вижда от рисунката, при което тази граница е различна от стойността на . Както и да се приближаваме към точката , със стойности по-малки от или със стойности по-големи от , се получава една и съща граница .
Пример 7.11. Да разгледаме функцията знак
Рис. 7.3.
, определена по следния начин (Рис. 7.3)
![](81633_html_m4c47d866.gif)
и нека отново . В този пример, ако приближаваме със стойности по-големи от , се получава граница , а ако приближаваме със стойности по-малки от се получава граница , което показва, че границата на функцията при не съществува.
Примерите обаче показват, че е целесъобразно понятието граница на функция да се уточни чрез въвеждане на лява и дясна граница. Числото се нарича лява (дясна) граница на функцията при клонящо към , когато за всяка редица от точки , за която , редицата клони към числото . Лявата (дясната) граница, когато съществува, се означава с , . Пишем
.
Тук означението показва, че клони към със стойности по-малки от , а означението показва, че клони към със стойности по-големи от . В последния пример имаме и .
Пример 7.12. За примера от рис. 7.2 имаме .
Верността на следното твърдение произтича непосредствено от определенията.
Твърдение 7.9. Нека е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на функциите и , и . Тогава:
1) Функцията също има граница в , при което .
2) Функцията също има граница в , при което .
3) Ако , то функцията също има граница в , при което
. ■
Аналогично твърдение е валидно за случая на лява (дясна) граница.
Пример 7.13. Функцията , , няма граница в точката , което добре се вижда от рисунката
Рис. 7.4.
В този пример всяко се явява точка на сгъстяване за стойностите на , когато се мени във всеки интервал , .
Сега сме готови да дадем важното определение за непрекъснатост на функция.
Определение 7.7. Нека функцията е определена в някакво множество и се явява точка на сгъстяване за . Казва се, че е непрекъсната в точката , когато (Рис. 7.5). По дефиниция приемаме, че ако е изолирана точка за , то е непрекъсната в .
Ако една функция е непрекъсната във всяка точка от дефиниционното си множество , то тя се нарича непрекъсната в .
Функцията се нарича непрекъсната отляво в точката , когато и непрекъсната отдясно, когато . Ако една функция е непрекъсната в , то тя е непрекъсната както отляво, така и отдясно. Когато се казва, че е непрекъсната в интервала се има предвид, че е непрекъсната във всяка вътрешна точка , непрекъсната отдясно в точката и непрекъсната отляво в точката .
При определението за непрекъснатост в точка се иска функцията да бъде дефинирана в тази точка и по този начин определението за непрекъснатост може да се изкаже в следния вид.
Твърдение 7.10. Функцията , определена в множеството , е непрекъсната в точката (Рис. 7.5) тогава и само тогава, когато:
1) За всяка редица от точки , за която , редицата е сходяща и клони към .
2) За всяко може да се намери такова, че , когато . ■
Рис. 7.5.
Твърдение 7.10 се видоизменя по очевиден начин за случаите на едностранна непрекъснатост (отляво или отдясно).
Непрекъснатостта на функцията в точката означава, че лявата и дясната граници на функцията в тази точка съществуват и двете са равни на стойността на функцията в , (Рис. 7.6)
Рис. 7.7.
Когато функцията не е непрекъсната в точката , казваме, че е прекъсната в . За примера от рис. 7.2, функцията е прекъсната в точката , но тук нещата лесно (променяйки само в една точка) могат да "коригират", полагайки , което е общата стойност на лявата и дясната граници. В такъв случай се казва, че функцията се определя по непрекъснатост в точката, където лявата и дясната граници съществуват и техните стойности са равни. Изложеният подход обаче няма да помогне за функцията от примера от рис. 7.3, понеже в този случай .
От определенията за непрекъснатост и от твърдение 7.9 следва, че ако и са непрекъснати в точката , то , и също са непрекъснати в . Аналогично твърдение е вярно и когато и са непрекъснати в някакво множество .
Композицията на непрекъснати функции също е непрекъсната функция. Нека е дадена функцията , която е непрекъсната в точката и да положим . Нека функцията е непрекъсната в точката . Тогава съставната функция е непрекъсната в точката . Наистина, да изберем едно . Тогава съществува такова, че , когато . От друга страна може да се намери такова, че , когато . Тогава, ако , то и следователно . Последното по определение означава, че функцията е непрекъсната в точката .
Функциите, които се получават от променливата чрез краен брой композиции на основните елементарни функции и операциите събиране, умножение и деление се наричат елементарни функции на променливата . Елементарните функции са непрекъснати във всяка вътрешна точка на дефиниционната си област.
Свойства на функции, определени в ограничен затворен интервал. Ако една функция е определена и непрекъсната над компактно множество, то тя е ограничена и равномерно непрекъсната. Една функция се нарича ограничена (отгоре/отдолу), когато множеството на нейните стойности е ограничено (отгоре/отдолу). Казва се, че функцията , , е равномерно непрекъсната, когато за всяко може да се намери такова, че , винаги когато , .
Една функция може да бъде непрекъсната, но да не бъде нито ограничена нито равномерно непрекъсната.
Пример 7.14. Да разгледаме функцията , която е непрекъсната в дефиниционното си множество но очевидно не ограничена, понеже . Тази функция не и равномерно непрекъсната. Да изберем и да разгледаме числата . Имаме , следователно колкото и малко да избираме , ще се намери индекс , за който . От друга страна винаги е изпълнено , което показва, че така определената функция не отговаря на изискването за равномерна непрекъснатост. В този пример дефиниционното множество на функцията е ограничено, но не е затворено.
Тук ще разглеждаме непрекъснати функции , определени в ограничен затворен интервал . Всеки ограничен затворен интервал е компактно множество. Теоремите за ограниченост и равномерна непрекъснатост на непрекъснати функции са валидни, когато е определена не само над ограничен затворен интервал, а и в случая когато е определена над компактно множество и затова ще ги формулираме по този начин.
Теорема 7.7 (Вайерщрас). Нека функцията е определена и непрекъсната над компактното множество . Тогава е ограничена, при което достига най-голяма и най-малка стойности; съществуват точка и точка , за които
и . ■
Ако една функция е равномерно непрекъсната в множеството , то тя е и непрекъсната във всяка точка от ( е непрекъсната в ), понеже за всяко може да се намери такова, че , когато . Равномерната непрекъснатост означава, че това може да се избере едно също за всяко , докато обикновената непрекъснатост допуска да зависи от .
Ако обаче дефиниционната област на една непрекъсната функция е компактно множество, то тя е и равномерно непрекъсната.
Сподели с приятели: |