Взаимна спектрална плътност. Теорема на Релей
Взаимна спектрална плътност – чрез нея се съди за степента на взаимодействието и сигналите в енергийно отношение и в определена част от спектъра. Ще разгледаме 2 сигнала – u(t) и v(t).Във времевата област тяхното количествено взаимодействие се определя от скаларното им произведение.
(1) –> скаларно произведение
За разглеждането им в честотната област използване обратното преобразуване на Фурие.
(2)
Заместваме 2 в 1 и се получава
Вторият интеграл изразява спектралната функция на сигнала , но при отрицателен аргумент, т.е:
(4) -> обобщена формула на Релей
( ) = Re [ ]
(u,v) = (5) Теорема на Релей
W (ω) – взаимна спектрална плътност на двата сигнала и е свързана с разпределението на енергиите им. Нарича се още взаимен енергиен спектър.
Колкото по-слабо е препокриването им на спектрите на двата сигнала, т.е W (ω) = min , толкова по-добре се различават двата сигнала.
Енергиен спектър
u(t) = v(t) -> съвпадат => са идентични
(6) -> равенство на Релей
(ω) – показва разпределението на енергията в спектъра на сигнала и се нарича енергиен спектър.
[ (ω)] -> [амплитуда/честота] -> [V/Hz]
[ (ω)] -> [ /честота] -> [ /Hz]
Енергиен спектър - Чрез използване на енергийния спектър отпада информацията за фазата на сигналите и това е удобство при разглеждане на случайни сигнали.
Връзка между корелационната функция и енергийния спектър на сигнала
Ако това е изпълнено тогава в спектралната област на S(u)
Тук…
. .
=
(1) -> връзката между корелационната функция и енергийния спектър на сигнала.
= (2) -> връзка между енергийния спектър и корелационната функция
Теорема на Винер-Хинчин
Важни свойства:
Тъй като енергийният спектър има връзка с корелационната функция, то на различни по форма сигнали имащи еднакви амплитудно честотни спектри съответстват еднакви корелационни функции.
Колкото по-широк е спектъра на сигнала, толкова по-малък е интервалът на корелация, което е равностойно на свиване на сигнала и копието между времето и обратно - на голям интервал на корелация съответства по-тесен спектър на сигнала.
Сподели с приятели: |
