Разрезни усилия Метод на сечението



Дата14.11.2017
Размер448.41 Kb.
#34575
ТипГлава
Глава 1. Разрезни усилия


    1. Метод на сечението

Нека имаме едно тяло гредови тип с произволна ос. То е натоварено с пространствена система сили от на брой сили и е подпряно по такъв начин, че можем да определим и проверим опорните реакции. Премахваме опорите и товарим тялото освен с външните сили и с реакциите, така то е натоварено с една произволна равновесна система външни сили. Разделяме мислено тялото с равнина , перпендикулярна на оста и (фиг. 1.1). Сечението на гредата с равнината се нарича

напречно сечение. Двете части на разрязаната греда ще наричаме лява и дясна. Разделяме мислено двете части (фиг. 1.2). Върху лявата част действуват сили, а върху дясната част - . Съгласно принципа за локално равновесие те и двете ще бъдат в покой. Върху лявата част ще действуват припадащата и се част от системата външни сили , които ще означим със и системата от безкрайно много сили, с които дясната част действува върху всяка точка от напречното сечение на лявата част. Последната система ще означим със . Това е система от вътрешни сили. По същия начин външните сили, действуващи върху отделената дясна част ще означим със , а вътрешните сили, с които лявата част действува върху дясната – със .

Системите външни сили са известни от постановката на решаваната задача, докато системите вътрешни сили са неизвестни. Но тях можем да ги редуцираме за центъра на тежестта на напречното сечение точка . Резултатът е главен вектор и главен момент за и за двете системи:

, , , . (1.1)

От равновесието на цялата греда имаме



+ = 0, (1.2)

А от равновесието на лявата и дясната части поотделно:


+ = 0 и + = 0 . (1.3)

Съгласно третия закон на Нютон двете части на гредата си взаимодействуват с равни по големина и обратни по посоки сили, от където можем да запишем:



+ = 0. (1.4)

За да е изпълнено това условие трябва главните вектори и главните моменти на системите да бъдат право противоположни.



= = - , = = - . (1.5)

От (1.1), (1.3) и (1.5) можем да запишем



+ , 0 и + (- ,- ) 0 . (1.6)

Знакът (-) се отчита, като елементите на динамата на вътрешните сили действуващи върху дясната част се насочат в противоположна посока на тези от лявата част. Главният вектор и главният момент на вътрешните сили имат по три независими проекции по трите оси на координатната система. За всяка от двете части на разделената греда в най-общия случай на геометрия и натоварване можем да запишем по шест условия за равновесие. Следователно задачата за определяне на и е статически определима и се решава от условията за равновесие на едната от двете части. Равновесието на другата част ще доведе до същия резултат.

Да разгледаме отделената лява част на гредата. Разлагаме на две компоненти, едната по нормалата на сечението, а другата – в неговата равнина (фиг. 1.3). Тези компоненти имат специални означения и наименования. Компонентата по нормалата се

отбелязва с и се нарича нормална сила, а компонентата в равнината на сечението се бележи с и се нарича напречна или срязваща сила. Същото правим и с . Компонентата по нормалата се означава с и носи наименованието усукващ момент, а компонентата в равнината на сечението е огъващия момент . Общо , , и се наричат разрезни усилия за сечението на гредата.

На практика се оказва, че е по-удобно да се работи не с векторните, а със скаларните компоненти на и . За тази цел се избира специална координатна система. Тя е свързана с напречното сечение на лявата част. Началото и е в центъра на тежестта. Оста винаги съвпада с външната нормала. Осите и са в равнината на сечението. Оста e насочена надолу, а посоката на оста е такава, че координатната система e дясно ориентирана. Разлагаме и по трите оси на координатната система. Получените шест проекции също така могат да бъдат наречени разрезни усилия. За тях са приети следните означения и наименования:

= - нормална сила,

- напречна сила по ,

- напречна сила по ,

- усукващ момент,

- огъващ момент по оста и

- огъващ момент по оста .

Или главният вектор и главният момент на вътрешните сили могат да се изразят по един от следните два начина:

(1.7)

и

,



. (1.8)

Тук и са единичните вектори по осите на координатната система.


1.2 Разрезни усилия в равнинни системи

В инженерната практика честа задача е да се определят разрезните усилия в греда, оста на която лежи в една равнина и натоварването е равнинна система сили в същата равнина. Да приемем че равнината е вертикалната . Тогава главният вектор на вътрешните сили лежи в тази равнина, а главният им момент е перпендикулярен на нея. А компонентите им , , . Следователно за равнинно натоварените греди остават само три скаларни разрезни усилия, това са нормалната сила, напречната сила по и огъващият момент по . В този случай индексите са излишни, можем да напишем, че разрезните усилия са и . Отделените лява и дясна части на гредата са натоварени с равнинна система сили, външните са известни, а трите вътрешни – неизвестни. Статиката дава три уравнения за равновесие на произволна равнинна система сили, следователно равнинната задача за определяне на разрезните усилия е статически определима. С която и част да работим, резултатът ще бъде същият. Обикновено разрезните усилия в определено сечение се получават от равновесието на по-малко натоварената част на гредата.

Положителните посоки на разрезните усилия за лява част се получават в зависимост от описаната по-горе координатна система. За лявата и дясната част на гредата те са показани на фиг. 1.4. За дясната част посоките са такива, че след съединяването на двете части разрезните усилия да се уравновесят. Или може да се дефинират следните правила за положителните посоки на разрезните усилия, независимо върху коя част действуват:

- положителната посока на нормална сила е насочена от разреза навън,

- положителната посока на напречна сила се получава като завъртим положителната нормална сила на 900 по часовниковата стрелка,

- положителният огъващ момент се изобразява като дъгичка със стрелка и опъва долните нишки на гредата.

Последното правило се нуждае от пояснение. На фиг. 1.5 е показан един отделен с два разреза елемент от гредата. Върху него са приложени разрезните усилия и в двете сечения с положителните си посоки, в дясното сечение като за лява част, в лявото сечение като за дясна част. Деформираното положение на елемента от двата момента е показано с пунктир. Вижда се че долната част на гредата е удължена, а горната - скъсена . Ако се приеме че гредата е изпълнена от надлъжни фибри или нишки, то при положителни огъващи моменти тези от долната страна ще бъдат опънати, а от горната страна – натиснати.

Но строителните конструкции се изпълняват не само с хоризонтални елементи. Често те съдържат и вертикални, и наклонени части. Тогава за последните не е ясно кои нишки са горни и кои долни, а от това зависи след направа на разрез коя част е лява и коя дясна. В такъв случай предварително се приема долната страна на всяка част от конструкцията. Това става чрез подчертаване с пуктир на долните нишки. На фиг. 1.6 е показан начина на избор на долната част в трите части на една рамка и положителните посоки на разрезните усилия за всяка част. Със същия успех подчертаната страна можеше да бъде противоположната, това би коригирало положителните посоки на огъващите моменти.



Пример 1.1. Да се определят разрезните усилия за сечение на показаната на фиг. 1.7а греда.

Тук изборът на долни нишки е очевиден. Правим разрез през сечение и разделяме мислено гредата на лява и дясна части. С еднакъв успех можем да определим разрезните усилия в сечението от условията за равновесие на която и да е от двете части, но ако работим с дясна част ще трябва предварително да определим опорните реакции. Затова ще работим с лява част, тогава за случая това няма да е необходимо. Отделената лява част е показана на фиг. 1.7б. Тя е натоварена с приспадащия и се външен товар. Въвеждаме положителните посоки на трите разрезни усилия и като за лява част. Записваме трите условия за равновесие, две проекционни и едно моментово за точката на разреза:



0; - 14 = 0;

0; - - 16 . 2 = 0;

0; -10 + 16 . 2 . 1 + 0,

От които определяме трите разрезни усилия в избраната точка



= 14 kN, = -32 kN, = -22 kNm.

За разлика от опорните реакции посоките на отрицателните разрезни усилия не се поправят. Знаците „минус” се отчитат по друг начин.

С оглед на инженерната практика нас ни интересува не само какви са разрезните усилия в едно сечение, а във всички сечения на гредата, или графиките им. Тези графики се чертаят по определени правила и се наричат диаграми на разрезните усилия. По тях се ориентираме на кое място отделните усилия имат екстремални стойности, на кое място имаме интересуващи ни съчетания от различни разрезни усилия. За да начертаем диаграмите на разрезните усилия можем да процедираме по един от следните два начина, или да намерим стойностите им в много близки точки, което е свързано с голяма изчислителна работа, или да направим разрез в сечение с текуща абсциса , да получим фукциите им, да ги изследваме и да построим диаграмите според особеностите им. В Съпротивление на материалите е избран вторият подход.

Функциите на разрезните усилия не са еднакви за цялата конструкция. Има области от нея, в които функциите се променят. Или преди да започнем да определяме функциите е необходимо да се раздели конструкцията на участъци, по протежение на които функциите не се променят. Граници на участъците са отбелязани с точка и са показани на фиг. 1.8, това са приложните точки на концентрирани сили или моменти, начало или край на разпределен товар, промяна на характера на разпределение на товара, чупка в оста на конструкцията, разклонение на оста, промяна на кривината на оста.

За да се изследват разрезните усилия в една конструкция е необходимо да се извърши следното:


  1. Да се определят и проверят опорните реакции.

  2. Да се избере долна страна, която се означава с пунктирна линия.

  3. Да се определят участъците.

4. Да се направи във всеки участък сечение на текуща абсциса от левия край на гредата, а по-често на участъка .

5. Да се отдели лявата или дясната част на конструкцията при всеки разрез, да се нанесат всички припадащи се на тази част външни сили и опорни реакции, както и разрезните усилия с техните положителни посоки.

6. Да се напишат условията за равновесие на отделената част и да се получат разрезните усилия като функция на .

7. Да се изследват тези функции по познатите ни от математиката начини и да се построят диаграмите.

Диаграмите се строят върху реперни линии с формата на оста на конструкцията. Положителните стойности на и се нанасят нагоре перпендикулярно на реперната линия, а отрицателните – надолу. При -диаграмата положителните стойности се нанасят надолу перпендикулярно на реперната линия , а отрицателните стойности – нагоре. По такъв начин -диаграмата се чертае от страната на опънатите нишки. Това правило е възприето във връзка с най-често използувания материал за строителни конструкции – стоманобетона, опънните усилия в който се поемат от армировката. Стоманобетонните елементи се армират винаги от страната на диаграмата.

Всички диаграми се щриховат с ординати – линии перпендикулярни на реперната. Това е възприето за по-голяма яснота в местата на които оста има чупки.



Пример 1.2 Да се начертаят диаграмите на разрезните усилиа за показаната на фиг. 1.9 греда.

Разлагаме наклонената сила на компоненти по хоризонталата и вертикалата = 20 . = 10 kN, = 20 . = 17,32 kN. Истинските им посоки са показани на чертежа с пунктир. Намираме равнодействуващата на разпределения товар = 12. 4 = 48 kN. Тя е означена на чертежа с пунктир.

Определяме опорните реакции.

0; -10 = 0, = 10 kN,

= 0; 6. - 48.2- 17,32.4 – 18 = 0, = 30,55 kN,

= 0; -6. + 48.4 +17,32.2 -18 = 0, =34,77 kN.

Проверката е



0; 34,77 – 48 – 17,32 + 30,55 = 0, 0 = 0.

Истинските посоки на опорните реакции са показани на чертежа.

Избора на долна част не буди съмнение. Долните нишки са подчертани с пунктир.

Разделяме гредата на участъци. Границите на участъците се определят съгласно фиг 1.8. В нашия случай участъците са три - и Във всеки от тях последователно ще направим разрез на разстояние от левия край.


Първи участък 4 m).

Правим първия разрез и мислено отделяме по-малко натоварената лява част. Поставяме припадащата се част от външното натоварване и двете компоненти на опорната реакция върху отделената част и разрезните усилия с положителните им посоки както за лява част, които са с индекс 1 както за първи участък. Отделената част е показана на чертежа. Записваме трите условия за равновесие:



0; + 10 = 0; = -10 kN, функцията е константа.

0; - +34,77-12. = 0, =34,77-12. , функцията е линейна, за да се начертае графиката и са необходими две нейни стойности, обикновено в началото и в края на участъка = 34,77 kN, (4)=- 13,23 kN. Може да се види че = 0.

= 0; -34,77. +12. = 0, = -6. + 34,77. , функциятa е криволинейна (квадратна парабола), за да се построи по-точно са нужни няколко нейни стойности.

[m]0122,897534 [kNm]0,0028,7745,5450,3750,3143,10

Втори участък .

Правим разрез и мислено отделяме по-малко натоварената дясна част. Прилагаме припадащата се част от натоварването и разрезните усилия сположителни посоки както за дясна част. Индексите на разрезните усилия са 2 както за втори участък. Отделената част е показана на чертежа. Записваме:

0; = 0,

0; + 30,55 = 0, = -30,55 kN, функцията е константа.



= 0; - +30,55. -18 = 0, = -30,55. +43,1. Функцията е линейна, двете стойности в началото и края на участъка са = 43,1 kN, = -18 kNm.
Трети участък

Режем през третия участък и отделяме по-малко натоварената дясна част с припадащото и се натоварване и разрезните усилия с индекс 3 и положителни посоки както за дясна част. Отделената част е показана на чертежа. Трите условия за равновесието и са:



0; = 0,

0; = 0,

= 0; + 18 = 0, = -18 kNm. И трите функции са константи, двете от тах са с нулеви стойности.

Начертаваме диаграмите на трите разрезни усилия в трите участъка като спазваме възприетите по-горе правила. Щриховаме диаграмите с ординати.




    1. Диференциални уравнения за разрезните усилия

Да се върнем отново към случая на пространствено натоварена конструкция. Тя е в покой, външното натоварване и опорните реакции образуват равновесна система сили. Нека тя е съставена от праволинейни участъци. Поставяме си за задача да установим зависимостта между различните разрезни усилия и натоварването.

Изрязваме с две сечения с абсциси и един елемент от конструкцията (фиг. 1.10). Нека той е натоварен с напречен разпределен товар с компоненти по двете напрeчни оси с интензивност съответно [kN/m] и [kN/m], осов разпределен товар с интензивност [kN/m] и разпределен усукващ момент с интензивност [kNm/m]. Бихме могли да допълним натоварването и с два разпределени огъващи моменти с вектори по напречните оси [kNm/m] и [kNm/m], но на практика в реалните конструкции последните два товара не се срещат, те имат само теоретично значение и ще пропуснем тяхното влияние. Дължината на елемента е малката величина , и всичките товари по неговото протежение се променят незначително, което ни позволява да ги приемем за постоянни в рамките му.

Към елемента се прикрепя координатна система с ос по дължината му и ос надолу. Посоката на оста e такава, че координатната системата да е дясно ориентирана. Тя помага за ориентацията на положителните посоки на разрезните усилия. Може да се каже че играе ролята на подчертаването в случая на равнинно натоварване. Правилото е следното: нормалното усилие e винаги от разреза навън. Ако неговата посока съвпадне с посоката на оста на прикрепената координатна система, то всичките разрезни усилия са ориентирани по положителните посоки на нейните оси. Така е в десния край на елемента, разрезните усилия са ориентирани като за лява част. А ако нормалното усилие от разреза навън е насочено обратно на оста , то положителните посоки на всичките разрезни усилия ще бъдат насочени обратно на осите на координатната система. Така е в лявата част на елемента, разрезните усилия са ориентирани като за дясна част.

Съгласно принципа за локалното равновесие отделеният елемент ще бъде в покой, шестте равновесни условия са:



= 0; . = 0,

= 0; = 0,

= 0; = 0,

= 0; =0, (1.9)

= 0; = 0,

= 0; = 0.

След несложно преобразуване първото уравнение на (1.9) става

Правим граничен преход . Извършваме аналогични преобразования и с останалите пет уравнения на (1.9). Резултатът е:

,

(1.10)

,

,

.

Зависимостите (1.10) се наричат диференциални уравнения за разрезните усилия и изразяват връзката между външното натоварване и функциите на разрезните усилия.

За случая на равнинно натоварване второто, четвъртото и шестото уравнения от (1.10) са тъждествено равни на нула, а в останалите три отпада необходимостта да се пишат индекси. Диференциалните уравнения стават:





(1.11)

.

Последните зависимости важат само когато се мери отляво надясно. В противен случай знаците на дястата част се променят на противоположните.




    1. Проверки на разрезните усилия в равнинната задача

1.Проверка на функциите на разрезните усилия. Състои се в заместване на , и в уравнения (1.11). Необходимо е да се спазват знаците на натоварването. Товарите и са положителни, ако техните посоки съвпадат с тези на положителните и за лява част (фиг. 1.11).

2. Проверка на диаграмите на разрезните усилия.

а. По вида на диаграмите. Тази проверка е свързана непосредствено с (1.11). Ако =0, то (диаграмата е права, успоредна на реперната линия). При , е линейна функция (права линия), при V е линейна функция (права линия), е квадратна функция (крива линия) и т. н. Също така ако e насочен надолу, то ще има характер на намляване, или линията на диаграмата ще се спуска. В диаграмата е налице намаляване на градиента, тя ще бъде изпъкнала надолу. Поради промяната във при наличие на напречна сила в диаграмата се получава разлика в наклоните, или се явява чупка по посока на силата. А в местата на анулиране на диаграмата в се явява екстремум.

Тази проверка често помага да се открият груби грешки в диаграмите.

б. Площна проверка. Тази проверка произлиза от интегрирането на (1.11) в границите на участъка или на част от участъка. Да вземем две сечения с абсциси и . Интегрирането в тези граници дава

(1.12)

Определеният интеграл от непрекъсната функция в някакви граници представлява площта на графиката на функцията в същите граници. Затова



(1.13)

Обикновено графиките на и не се чертаят, но площите и представляват равнодействуващите на осовия и напречния разпределени товари и се пресмятат по познатите ни начини, докато площта се изчислява от диаграмата.


  1. Проверка на границите на участъците.

а. Когато границата се определя от наличието на сила (хоризонтална или вертикална) или концентриран момент. От условията за равновесие лесно може да се стигне до следните правила валидни при движение отляво надясно:

- при наличие на хоризонтална сила в диаграмата се появява скок равен на силата и с посока на силата, завъртяна на 900 по посока на часовниковата стрелка,

- при наличие на хоризонтална сила във диаграмата се явява скок равен на силата по посока на силата,

- при наличие на концентриран момент в диаграмата има момент равен на стойността на момента и с посока на момента.

Тези правила са илюстрирани на фиг. 1.12.

б. Когато границата се определя от наличието на чупка или разклонение. В този случай казваме, че конструкцията има корав или ставен възел. Проверката се извършва чрез изрязване на възела безкрайно близко до граничната точка. Прилагат се всички външни товари във възела и разрезните усилия в отрязаните части. Съгласно принципа за локално равновесие и трите уравнения на статиката, две проекционни и едно моментово, трябва да бъдат удовлетворени.

Извършването на проверките ще бъде илюстрирано на

Пример 1.3. За показаната на фиг. 1.13 конструкция да се получат функциите и се начертаят диаграмите на разрезните усилия. Да се направят всички необходими проверки.

Разлагаме наклонената сила на две компоненти 30 kN и = 25,98 kN. Посоките на компонентите са показани на чертежа. Определяме равнодействуващите на напречния разпределен товар = 16.3 = 48 kN и на осовия разпределен товар =

= 10.4 = 40 kN. Опорните реакции се определят и проверяват по методите на теоретичната механика. Резултатите са = 27 kN , = 35,99 kN , = 58,99 kN . Опорните реакции с истинските им посоки са означени на чертежа. Избираме долна част и я означаваме чрез подчертаване. Разделяме конструкцията на участъци и означаваме местата на разрезите на от левия край на участъка.
Първи участък m .

= 0; +27 = 0; = -27 kN,

0; - -16. +35,99 = 0; = -16. + 35,99; = 35,99 kN,

=-12,01 kN, = 0.

= 0; +16. -35,99. =0; = -8. +35,99.
[m]0,01,02,02,2493,0 [kNm]0,027,9939,9840,4835,98

Втори участък m .



= 0; - -12 = 0; = - 12 kN,

0; -21 + 58,99 = 0; =-37,99 kN,

= 0; -14 + 12.3- (58,99 – 21).(2- ) = 0; = -37,99. +53,98; (0) = 53,98 kNm, (2) = -22,0 kNm.
Трети участък m .

0; +58,99-7.(3- ) = 0; = -7. - 37,99; (0)=-37,99 kN, (3)=-58,99 kN.

= 0; -12 = 0; = 12 kN,

= 0; + 12.(3- ) = 0; = 12. - 36; (0) = -36,0 kNm, (3) = 0.


Чертаем диаграмите според приетите правила.

Ще направим последователно следните проверки:



  1. По вид. Удобно е оформянето да стане в табличен вид.

участък 00const constconstлинейна

функция const00 линейна

функцияconstconst квадратна

функциялинейна

функциялинейна

функция


  1. Проверка на функциите.

участък 0=0-16=-16-16. = -16. 0=00=0-37,99 = -37,99 -7=-70=012 = 12

  1. Площна проверка. Използуват се начертаните диаграми.

участък -27-(-27)=0-12,01-35,99=-16.335,98-0= -12-(-12)=0-37,99-(-37,99)=0-22-53,98=-37,99.2 -58,99-(-37,99)=-7.312-12=00-(-36)=12.3

  1. Проверка на екстремума в първия участък. Това е също площна проверка за интервал от началото на участъка до мястото на екстремума.

40,48 – 0 = 35,99.2,249; 40,48 40,471.

5. Проверка с правилата за скоковете.

граница и

натоварване -диаграмаскок с големина 27 скок с големина 15 скок с големина 58,99 -диаграмаскок с големина 35,99 скок с големина 25,98 скок с големина 12 -диаграманяма скокскок с големина 18 няма скок

6.Проверка чрез изрязване на възел . Възелът е изрязан безкрайно близко отляво и отдолу до точка и е изобразен два пъти, с положителните посоки на разрезните усилия и с истинските им посоки, или посоките на отрицателните разрезни усилия се коригират.

Възелът трябва да бъде в равновесие, или за него трябва да бъдат изпълнени



= 0; 12 – 12 = 0; 0 = 0,

0; -37,99 + 37,99 = 0; 0 = 0,

= 0; 22,0 – 36,0 +14,0 = 0; 0 = 0.


    1. Определяне на разрезните усилия при равнинно натоварване чрез

интегриране на диференциалните уравнения за разрезните усилия.

Диференциалните уравнения за разрезните усилия могат да бъдат използувани не само за проверка, но и за непосредствено намиране на функциите, а от тях и начертаване на диаграмите им. Това обикновено се прави при по-сложни разпределени товари, когато методът на сечението води до трудоемки пресмятания на площи, равнодействуващи и центрове на тежестта на товарите действуващи върху отделената част.

Интегрирането на (1.11) дава:
,

, (1.14)

и след използуване на последното уравнение



Интеграционните константи се определят от удоволетвряване на граничните условия в началото на всеки участък. Проверката е равновесието на края на последния участък.

Описаното до тук ще бъде илюстрирано чрез следния

Пример 1.4. За показаната на фиг. 1.14 конструкция да се определят функциите чрез интегриране на диференциалните уравнения и начертаят диаграмите на разрезните усилия. Да се направят необходимите проверки.

Разпределеният напречен товар в участък е по квадратна парабола, нейното уравнение в най-общ вид е



,

където и са неизвестни за сега константи. Производната на функцията на товара е



.

Стойностите на константите за нашия случай се определят от следните гранични условия:



= 0; = 0 и = +24,

от където за = 1,5, = 0, = 0. Или функцията на напречния разпределен товар е



.

Равнодействуващата му е



= (43-03) = 32 kN.

Приложната точка на се намира на разстояние от точка ,



= 3,0 m.

Равнодействуващата на осовия разпределен товар е 5.4 = 20 kN.

Опорните реакции се определят и проверяват съгласно методите на теоретичната механика. Техните стойности са:

= 16,0 kN ; = 7,5 kN ; = 24,5 kN .

Опорните реакции са означени на фигурата със стойностите и истинските си посоки.

Избираме долни части и ги означаваме чрез подчертаване.
Първи участък m).

Тук и = -5 (според приетото правило за знаците на разпределените товари). Интегрираме съгласно (1.14)



= - + = 5. + ,

= -0,5. + ,

= -0,125. + .

За определяне на трите интеграционни константи разглеждаме изрязаната безкрайно близо до точка граница . От нейното равновесие имаме



= 0; 16 = 0; = -16,0 kN,

0; - + 7,5 = 0; = 7,5 kN,

= 0; + 6 = 0; = -6,0 kNm .

От последните равенства се определят интеграционните константи:



= -16,0 = 7,5, =-6,0.

За функциите на разрезните усилия в първия участък се получава



= 5. - 16,

= -0,5. + 7,5 ,

= -0,125. + 7,5. -6.

За по-прецизно начертаване на диаграмите в първия участък ще пресметнем стойностите на криволинейните разрезни усилия в няколко подробни точки.


[m]0,01,02,02,4663,04,0 [kN]-16,04,0 [kN]7,57,03,50,0-6,0-24,5 [kNm]-6,01,3757,07,8726,375-8,0

Втори участък m). Тук натоварването е просто, може да се приложи и методът на сечението, но за илюстрация ще продължим с метода на интегриране на диференциалните уравнения на разрезните усилия.

Разпределените товари са с нулеви стойности (няма такива).

=0, = 0.

Интегрирането на (1.14) дава:

=

=

= + = .

Новите интеграционни константи се получават от равновесието на изрязания възел :



= 0; - 4 = 0; = 4 kN,

0; -24,5 + 24,5 = 0; = 0,

= 0; + 8 = 0; = -8 kNm.

От последните условия за интеграционните константи се получава



= 0, = 4, = -8.

Функциите на разрезните усилия във втория участък, след заместването на константите, стават:



= 0,

= 4 kN,

= 4. - 8; = -8 kNm, = 0.

По стойностите на функциите начертаваме диаграмите. Те са дадени на чертежа.

Проверката е равновесието на изрязаната граница :



= 0; 4 – 4 = 0; 0 = 0,

0; 0 = 0,



= 0; 0 = 0.


    1. Построяване на диаграмите на разрезните усилия чрез суперпозиция.

По метода на сечението определяме разрезните усилия чрез условия за равновесие на отделената лява или дясна част. Но условията за равновесие са линейни, следователно можем да ги напишем последователно за отделни части от натоварването, или казано по друг начин можем да получим разрезните усилия за един, втори, трети товар, а общите разрезни усилия са сумата от получените до тук. Същото важи и за диаграмите им.

Казаното до тук е онагледено на фиг. 1.15. Натоварването се състои от една сила и един момент. Диаграмите от цялото натоварване са сумата от диаграмите от

силата и от момента. Ординатите им за отделните сечения се сумират като алгебрични числа.

Този начин намира приложение за случаите, когато можем да построим диаграмите за отделните случаи бързо и без или почти без изчисления. Тогава се постига икономия на изчислително време.




    1. Разрезни усилия в пространствени системи.

Разрезните усилия в пространствената задача се получават от условията за равновесие за отделената лява или дясна част. Ориентацията на положителните им посоки става с помощта на прикрепена към всеки участък локална дясно ориентирана координатна система, в която оста e по оста на участъка, оста e насочена надолу, а посоката на оста се получава по правилото на дясната ръка.

Диаграмите на разрезните усилия се чертаят в аксонометрия върху реперни линии, съвпадащи с оста на пространствената конструкция. Четири от диаграмите за всеки участък се чертаят в локалната вертикална равнина , като нагоре (по - ) се нанасят и . Надолу, или по + се нанасят и + . Две от диаграмите за всеки участък се чертаят в локалната хоризонтална равнина , като обратно на посоката на се нанасят + и + , а по посока на оста се нанасят - и - .

Описаните правила са показани на

Пример 1.5. За показаната на фиг. 1.16 пространствена конструкция да се получат функциите и се начертаят диаграмите на разрезните усилия. Да се направят необходимите проверки.

Определяме равнодействуващите на разпределените товари. Те са:



= 48 kN, =5.4 = 20 kN, .3 = 24 kNm.

Определяме и проверяваме опорните реакции съгладно методите на теоретичната механика. Стойностите и истинските им посоки са показани на чертежа.

Към всеки участък прикрепяме дясно ориентирана координатна система. Удобно е за следващия участък тя да се получи от тази в предишния чрез плъзгането и до края му и завъртане по оста на конструкцията.

Първи участък 4 m). Правим разрез на разстояние от левия край. Отделяме лявата част, прилагаме припадащото и се натоварване, въвеждаме шестте разрезни усилия като за лява част съгласно локалната координатна система. Записваме шестте условия за равновесие и получаваме функциите на разрезните усилия за първия участък:



= 0; - 5. = 0; = 5. ; = 0, = 20 kN,

0; +12. - 27 = 0; = -12. +27; =27 kN, = -21 kN, = 0,

= 0; +6 = 0; = -6 kN,

= 0; -30 = 0; = 30 kNm,

= 0; +6. = 0; = -6. ; = 0, = -24 kNm,

= 0; -12. + 27. = 0; = 6. -27. , подробните стойности са:

[m]0,01,02,02,253,04,0 [kNm]0,0-21,0-30,0-30,375-27,0-12,0

Втори участък 3 m). Правим разрез на разстояние от десния край, отделяме дясната част, прилагаме припадащата и се част от външния товар, въвеждаме разрезните усилия както за дясна част съгласно локалната координатна система и пишем шестте условия за равновесие.



= 0; = 0,

0; -4 = 0; = -4 kN,

= 0; + 10 = 0; = - 10 kN,

= 0; - +8.(3- ) = 0; = -8. + 24; = 24 kNm, = 0,

= 0; -10.(3- )= 0; = -10. +30; = 30 kNm, = 0,

= 0; +4.(3- ) = 0; = 4. - 12; = -12 kNm, 0.

Чертаем диаграмите съгласно описаните по-горе правила.

Проверки:

1. По вид

участък 0 линейна

функция

(0) 0 линейна

функция 0 линейна

функция квадратна

функциялинейна

функция 00 линейна

функциялинейна

2. Проверка на функциите.

участък 5=50=0 0=0-8=-8 -12=-120=0 12.x-27=

=12.x-274=4 0=00=0 -6=-6-10=-10

3. Площна проверка на начертаните диаграми.

участък 20-0=5.40=0 30-30=00-24=-8.3 -21-27=-12.4-4-(-4)=0 -12-0= - 0-12= -4.3 -6-(-6)=0-10-(-10)=0 -24- 0 = -6.40- 30 = -10.4


  1. Проверка на екстремума в първи участък.

30,375-0 = ; 30,375 = 30,375.

6. Проверка с правилото за скоковете. Извършваме проверката на границите и както при равнинната задача за натоварването и диаграмите, които лежат в една равнина.



7. Изрязване на възел . Изрязваме възела безкрайно близко до точката , отделяме го, товарим го с действуващите върху него външни сили, опорни реакции и разрезни усилия. Шестте равновесни условия трябва да се удоволетвряват тъждествено.

= 0; 21 – 21 = 0; 0 = 0,

0; -20 – 4 + 24 = 0; 0 = 0,

= 0; -6 – 4 + 10 = 0; 0 = 0,

= 0;-24 + 24 = 0; 0 = 0,

= 0; -30 + 30 = 0; 0 = 0,

= 0; -12 + 12 = 0; 0 = 0.
Каталог: filebank -> acadstaff -> userfiles
userfiles -> Формати и стандарти
userfiles -> Комасация на земеделските земи. За понятието „комасация”
userfiles -> Конспект за изпита по история на архитектурата за специалност урбанизъм архитектурата на древен Египет
userfiles -> Годишник на университета по архитектура, строителство и геодезия – софия 2002-2003 annuaire de l’universite d’architecture, de genie civil et de geodesie – sofia
userfiles -> Изчисляване на конструкции на сеизмични въздействия
userfiles -> Използване на функции в c++
userfiles -> Examination topic list river morphology and river training works
userfiles -> Годишник на университета по архитектура, строителство и геодезия – софия 2002-2003 annuaire de l’universite d’architecture, de genie civil et de geodesie – sofia
userfiles -> Конспект въведение в управлението на проекти определение за проект. Видове проекти. Характеристика на проекта


Сподели с приятели:




©obuch.info 2022
отнасят до администрацията

    Начална страница