Как децата учат

Ето един наскорошен пример за това. Един мой възрастен приятел започна да рисува. Година или две по-късно го попитах как вървят нещата. Той каза, че всичко е наред, но има един проблем, с който не може да се пребори — все не успява да накара водата да легне. Примигнах неразбиращо и той започна да обяснява. Тъй като обича да рисува пейзажи, той доста напреднал в тази област. Когато се опитвал да изобрази езеро обаче, все не успявал да придаде на водата реалистичен вид. Тя приличала на парче зелено или синьо стъкло, стърчащо вертикално. Като ми показа няколко от картините си, наистина се уверих в това. Разделихме се, но не можех да престана да мисля за проблема му. Питах се какво точно възприема окото, така че мозъкът да интерпретира видяното като хоризонтална водна повърхност, вместо като вертикално парче стъкло? Кой е решаващият елемент за това възприятие?

Един ден, разхождайки се по река Чарлс, започнах да я наблюдавам внимателно, с цел да открия отговора. Естествено, има много такива елементи. Ако има вълни, по-близките изглеждат по-големи; в далечината те постепенно губят индивидуалните си характеристики и се сливат една с друга. Ако покрай брега има някакви предмети, те се смаляват с разстоянието. С други думи, поради перспективата изгледът на водната маса се променя в зависимост от дистанцията. Ако водата е спокойна, околността се оглежда в нея. Дори и ако някъде перспективата не е достатъчна, за да ни укаже, че различните области от водата са на различно разстояние, това ще стане ясно благодарение на промяната в цветовете — отдалечените обекти са по-размазани и някак синеят и сивеят. Не знам защо, но тези отговори ми доставиха голямо удовлетворение. Бях разкрил една мистерия и виждах и мислех по-ясно от преди.

Тъй като съм невеж и неопитен по отношение на рисуването, не можах да дам много идеи и вдъхновение на децата, с които работих. Аз обаче успях да направя няколко неща, които провокираха любопитството и интереса им. Така възможността им за растеж и знания разшири потенциала си за в бъдеще. След като четири години преподавах на пети глас, прекарах една година като пътуващ учител, трупащ идеи и материали. Повечето от тях, макар и не всички, бяха свързани с математиката и трябваше да ги разработя сам. Най-често използвах картона, който слагат в ризите в обществените перални. Той беше евтин и удобен за работа. Понякога работех в собствената си класна стая, която изпълняваше функцията на офис. С времето обаче започнах да пренасям производството си в други класни стаи със съгласието на учителите. Там децата можеха да видят какво правя и ако искат, да се замислят за него и да ме имитират.

Един ден бях в класната стая на първокласниците и за пръв път започнах да правя малки картонени кутии с отвор отгоре. Правех ги толкова големи, че в тях да влязат различните пръчици на Кюизенер. Имах картон за рисуване, обикновена линия, Т-образна линия, триъгълници и остър нож за рязане на картона. Всичко това беше много интересно на децата. От време на време те прекъсваха обикновените си занимания и идваха за минута-две при мен в ъгъла, за да се осведомят какво правя. Понякога ме питаха какво правя и аз отговарях: „О, нищо, майсторя си нещо“*.

[* Пособие за преподаване на математика и езици, създадено от белгийския начален учител Жорж Кюизенер, (1891–1976) което се състои от десет различни по цвят и по размер пръчици — Б.пр.]

След като завършех няколко кутии, те разбираха за какво става въпрос. Тогава пожелаваха и те да направят същото. Така че ако програмата им позволяваше, учителят им раздаваше картон и ножици и им позволяваше да опитат. Те не чакаха повече покани. Дали като гледаха от мен, или един от друг, дали чрез мислене или по метода на пробата и грешката, всички успяваха да разберат, че за да направиш правоъгълна кутия с отвор отгоре, трябва да изрежеш парче с формата на кръст. В началото кръстовете им бяха доста грубовати и с неравни, често неизмерени краища, които дори не бяха с прави ъгли. Децата обаче имат много силно чувство за майсторлък и изкусна изработка. Когато не ги подкупват или тиранизират, те се стремят да усъвършенстват всичко, с което се захванат. Така че не след дълго започнаха да правят по-хубави кутии. Те търсеха начин да изрежат картона така, че краищата на кръста да си съвпадат и горната част на кутията да е равна. Нито едно дете не ме попита как да го направи. От време на време някое просто идваше да ме погледа, след което се захващаше отново за работа.

Успях да наблюдавам работата им, макар и не толкова дълго, колкото ми се искаше. Имах други класове, на които да преподавам, а и доста деца, които да „подготвям“, което означаваше да им помогна да зазубрят нещо, за да минат даден изпит. Ето защо не разполагах с желаното от мен време за спокойно изследване или проследяване на това обещаващо хрумване. Учителката на първокласниците пък искаше да си предаде програмата и да подготви децата за втори клас. Те нямаха възможност да правят кутии достатъчно дълго, че да разучат и разработят някои от математическите възможности, свойствени за такъв тип дейност — проектиране на кутии с определен размер, кутии, които да побират определено количество дървени кубчета, кутии, които не са правоъгълни и т.н.

Независимо колко кратко се занимаваха с това, едно от момченцата създаде нещо забележително. С времето то имаше потенциала да поведе класа му в посока, която никога не си бях представял. По една случайност това момче беше едно от по-трудните деца в доста труден клас. След като направи няколко отворени кутии, той се замисли как да направи кутия с капак. Не след дълго се досети в каква форма да изреже картона, за да постигне това. При вида на затворената кутия му дойде идеята да я превърне в къща и нарисува върху нея врата и няколко прозореца. Кутията обаче не беше много интересна в ролята на къща, нито пък особено приличаше на такава. Детето започна да мисли как да постигне по-голямо подобие на къща, като й направи скосен покрив. Не видях как работеше върху проблема и не знам с какви стъпки е стигнал до крайния резултат, но след няколко дни учителката му ми показа една картонена къща със скосен покрив, направена от цяло парче картон. Тя бе прекрасно изработена; стените и покрива си пасваха много добре. Прозорците и вратите не бяха нарисувани, а изрязани, и то преди сгъването на картона във формата на къща. Това бе изключително постижение.

Този тип дейност крие много възможности за по-нататъшни разработки и учене. Това дете и този клас нямаха време да се впуснат в тях. В някое по-различно училище обаче децата биха могли да достигнат до най-различни идеи и да ги осъществят. Биха могли да направят макети с най-различна форма, или макети на даден предмет в различни размери, като запазват формата, а променят само мащаба му. Децата много се впечатляват от концепцията за мащаб. На тях им изглежда напълно естествено да се правят модели, които са еднакви, но ако трябва едните да са по-големи, а другите по-малки, им става много чудно. Една позната учителка направи гигантски комплект пръчици на Кюизенер, които учениците й разглеждаха и ползваха с голямо удоволствие. Черпейки от тази идея, направих от картон миниатюрен комплект пръчици, около две пети от обикновения размер. Много от първокласниците бяха невероятно впечатлени. Те бяха удивени, че взаимоотношенията, които бяха валидни за големите пръчици, важаха и за миниатюрните.

В мащабното рисуване също се съдържат безброй възможности. Когато бях малък, наблюдавах как се прави голямо копие на малка картина, като последната се налага върху разграфена хартия и след това се прехвърля на по-големи графи. Дори мисля, че и аз го направих един-два пъти, удивен, че голямата картина наистина се получава. Това обаче не беше част от обикновената ни училищна дейност; подобни неща се правеха вкъщи; ако ги правехме в училище, трябваше да внимаваме да не ни забележат. Вярвам, че ако децата в началните класове започнат с някоя малка рисунка и постепенно я увеличават все повече, докато стане толкова голяма, че да покрие голяма част от стената или черната дъска, това лесно може да прерасне в обяснение на координатни точки, графики и аналитична геометрия. Те ще представят картината чрез нещо, което не е картина — функцията. Друга възможна посока на разсъждение би била идеята да се създават акуратни рисунки на реални обекти в различни мащаби, а оттам да се премине към измерване на дължина и ъгли и картографиране.

Не е трудно човек да види, че тази дейност съдържа много аритметика. Един от основните принципи на училищната дейност е, че децата трябва да прекарат дълги години в запаметяване на безброй скучни факти, преди да могат да започнат да ги ползват за нещо интересно. Това е доста глупав начин на мислене и не води до никакви резултати. Повечето от децата толкова се отегчават от монотонното запаметяване на факти, че се отказват, преди да са натрупали достатъчно, че да могат да ги ползват за нещо интересно. Находчивостта на повечето от децата, които научават всички факти, толкова се притъпява по време на дългия процес на запаметяване, че те не могат да се сетят нищо интересно, за което да ги ползват, а просто продължават да трупат факти — преобладаващата част от дейността, която кипи в нашите гимназии и университети. Ако обаче сложим коня пред каруцата, където му е мястото, ако въвлечем децата в дейност, която изисква от тях да намерят приложения на иначе скучните и безполезни факти, те ги запомнят много бързо — точно като момчето, което поради интереса и заниманията си с електроника за две години прехвърлило знания и умения по четене и математика, които обикновено отнемат девет години, при това, без да стъпи в клас.

Веднъж представих на първокласниците идеята за изометричното рисуване. То е по-лесно да се покаже, отколкото да се обясни с думи. Да речем, че пред мен има куб. Изометричното изображение на куба показва трите му страни — горната и двете странични, и е нарисувана така, че всички ръбове да са с еднаква дължина. Вертикалните ръбове са изобразени с вертикални линии; хоризонталните ръбове са изобразени с линии, които са под ъгъл от 60° спрямо вертикалните.

{img:kak_decata_uchat_kub.png}

Изометричните рисунки се използват от занаятчиите за триизмерно изобразяване на предмети. Има специална изометрична хартия, която е разграфена с вертикални линии и линии под ъгъл от 60°. Аз направих такава хартия с помощта на копирна машина, след което я занесох при първокласниците. Първоначално я използвах за направата на цветни мозайки с пастели или маркери. Получиха се доста интересни форми и мотиви и децата скоро искаха такава хартия, за да могат и те да опитат. Естествено, така и стана.

Вече научих, че има друг подобен вид изобразяване, наречено аксонометрично. Струва ми се, че то ще е по-интересно и лесно за децата (както и за възрастните). То е подобно на изометричното (вертикалните линии в реалността се изобразяват с вертикални на листа), но всички хоризонтални плоскости се изобразяват в реалната им форма. Горната страна на куба, нарисувана аксонометрично, би изглеждала като квадрат.

{img:kak_decata_uchat_romb.png}

В някои от пътеводителите на „Мишелин“ за Ню Йорк* например има аксонометрични изображения на основните сгради. Има и една немска компания**, която издава пълен комплект карти на различни градове (повечето в Германия, но има и на Ню Йорк), в които всички сгради са изрисувани по този начин. Картата на Ню Йорк е невероятно сложна и красива. Когато я разглежда, човек се чувства така, сякаш прелита над града със самолет. Трудно е за вярване, че г-н Болман лично е нарисувал всяка една от стотиците детайлно изобразени сгради. Малките деца може би няма да могат да извлекат голяма полза от нея, но по-големите, особено тези, които познават Ню Йорк, сигурно страшно ще я харесат. Някои може и да се изкушат да направят аксонометрично изображение на позната сграда или дори на конструкция „Лего“, създадена от тях.

[* Michelin Green tour guides of New York. — Б.пр.]

[** Bollmann-Bildkarten-Verlag KG, Braunschweig, West Germany. — Б.пр.]

Един ден, когато бях при първокласниците, отчасти на гости, за да наблюдавам, отчасти за да върша своя работа, ми хрумна идеята да изобразя изометрично къща със скосен покрив и тавански прозорчета. Всеки, който се опита да постигне това, ще се сблъска с известни трудности. Главната част на къщата бе лесна, както и прозорците, вратите и покрива. Проблемът настъпи с таванските прозорчета. Докато се потях над тази задача, децата отново започнаха да ме навестяват за по няколко секунди, за да видят какво правя. След известно време някои от тях пожелаха да опитат да нарисуват нещо изометрично. Първо направиха най-елементарни кутии; после започнаха да рисуват къщи с плосък покрив, прозорци и врати. Понякога се заплесваха в рисуването и пропускаха, че линията, която в реалността е хоризонтална, на картината трябва да е под ъгъл от 60°. След като допуснеха тази грешка, те почти винаги забелязваха, че има нещо странно и нередно; в противен случай някой друг им я посочваше. Тогава те се връщаха при мен да погледнат по-добре и да видят как се справям аз с този проблем. Някои дори започнаха да си блъскат главата със задачата как да изобразят скосен покрив — нещо доста трудно за първокласник. Макар че тук отново нямахме достатъчно време да се задълбочим в тази дейност, бе очевидно, че децата проявяваха голям интерес и можеха да научат много неща. Подобно на направата на кутии, в изометричното рисуване също се крие голям, разнороден потенциал. Децата биха могли да правят изометрични рисунки на истински предмети в различен мащаб. Те също биха могли да изследват и връзките между конвенционалното изобразяване на обекти — фронтално, във вертикален разрез, странично и отгоре. Биха могли и да преминават от единия вид изобразяване към другия. Още по-интересни проблеми и възможности се съдържат в перспективата. В рисунките на малките деца, подобно на тези на примитивните художници, няма много дълбочина. Точно както момиченцето с дървото, те не знаят как да я изобразят и не са се замисляли кой знае колко върху този въпрос. Какво би станало, ако някой ги предизвика да се справят с нея? Едва ли може да очакваме малките деца сами да стигнат до идеята за перспективата, макар че не е изключено да ни изненадат, както винаги са правили. Те обаче могат сами да осъзнаят необходимостта от изобразяването й. Тогава с удоволствие ще научат, че има начин за рисуване на влакови релси, който им придава съвсем реалистичен вид.

По-горе споменах, че рисуването, в смисъла на изобразяване на обекти на хартия, е упражнение колкото за окото, така и за ума. Веднъж помолих моите петокласници да ми нарисуват колело. Като по даден знак настъпи паника. Какво колело? Каквото карате всеки ден, от тези в училищния двор, обикновените с две колела. За момчета или за момичета? Няма значение. Тогава започнаха да рисуват. Важното не беше да се нарисува хубаво. Само едно-две от децата в класа обичаха да рисуват за удоволствие, и то след години обучение по „изобразително изкуство“ в училища, в които вярваха, или поне така твърдяха, че изкуствата са важни. Още повече, че дори и тези две деца не обичаха да рисуват велосипеди. След известно време всички, освен един-двама съзнателни неудачници, които отказаха дори да опитат, ми предадоха рисунките си. Те разкриваха изключително много. Част от децата бяха интелигентни, умовете им бяха все още активни и те се интересуваха по-скоро от това, какви са нещата всъщност, отколкото от получаване готови отговори и избягване на неприятности. Тези деца нарисуваха що-годе автентични колела. Някои от детайлите може и да бяха неправилни, но в конструкцията имаше някакъв смисъл. Виждаше се, че по време на рисуването бяха мислили за това как е устроено колелото и как работи. Всички бяха нарисували някаква рамка; към нея имаше прикачени колела; съществуваше механизъм, който да ги задвижва. За разлика от тях другите, пречупените деца, бяха създали зашеметяваща колекция от форми. Те имаха съвсем слаба прилика с истинско колело и много неясна връзка помежду си. Обикновено успявах да позная къде са колелата, но те рядко бяха свързани с останалата част от конструкцията. Повечето рисунки представляваха две-три бледи подобия на части на колело, висящи самостоятелно във въздуха. Изведох тези деца навън с моливи и листа, поставих едно колело пред тях и ги помолих да опитат отново. Резултатите ни най-малко не превъзхождаха предишните. Въпреки че колелото беше пред очите им, те не можеха да проумеят конструкцията му. Дори и да можеха, те не успяваха да задържат това разбиране в съзнанието си достатъчно дълго, че да го прехвърлят на хартия. Сякаш училищните занимания ги бяха отдалечили от реалността дотолкова, че бяха изгубили способността си да я виждат, осмислят и боравят с нея.

Ако децата имаха възможност за повече дейност от подобен род, те щяха да натрупат не само знания, а и умения. Това е изключително важно. Когато детето направи нещо добре и получи видими резултати, у него се създава чувство за индивидуалност и лична стойност, което обикновените занятия в училище и угодничеството на учителите никога не могат да му дадат. В училище има прекалено малко време за това. Моето собствено образование, което беше скъпо и високо интензивно, не включваше нищо такова. До трийсетгодишна възраст бях правил единствено няколко модела на самолети, при това извън училище, и то на едва на около девет-десетгодишна възраст. Това е голяма грешка. Едно от многото неща, доказани от Мария Монтесори, е, че децата могат да правят внимателни и прецизни движения и обичат това не по-малко, отколкото да са буйни. Макар и не през цялото време, децата определено обичат да бъдат внимателни, стига това да е продиктувано от работата или ситуацията, а не от изискванията на някой възрастен. Трябва да им дадем много повече възможности да развиват уменията и прецизността си.

Едно уточнение — надявам се да не бъда разбран погрешно. Не твърдя, че трябва да захвърлим настоящата програма, да направим нова въз основа на изложеното от мен и да заместим с нея старата. Целта ми е да предложа някои неща, които децата в училище ще се радват да видят и правят, ако самостоятелно пожелаят да опитат. Те обаче трябва да имат свобода да избират начина, по който да изследват света. Ако просто заменим „Математика за първи клас“ с „Изометрично рисуване за първи клас“ и „Моделиране за първи клас“ и прикачим към тях вървящите с математиката задачи, домашни, упражнения и тестове, няма да спечелим почти нищо.

По времето, когато се занимавах с описаното по-горе, се наложи да замествам учителката на първокласниците за една седмица. Тя имаше навика да написва на дъската няколко задачи по математика, така че децата, които дойдат по-рано, да ги решават, докато започнат часовете. Задачите обикновено бяха със събиране. Рядко се събираха повече от две числа, сумата почти не надвишаваше 10 и никога не отиваше отвъд 20, тъй като децата още не бяха учили (т.е. не им беше казано) как да събират такива числа.

Един ден по някаква щастлива случайност бях забравил да напиша задачи на дъската. Две-три деца дойдоха по-рано и видяха, че на дъската няма задачи. Това за момент ги притесни, но след това попитаха дали може сами да напишат задачата на дъската. (Всички малки деца, а понякога и по-големите, обичат да пишат на дъската.) Казах им, че щом искат, може да опитат. Те започнаха със задачи, подобни на предишните. След известно време смелостта им нарасна и те преминаха на сборове от рода на 20+70=? Често между тях се развихряше спор относно правилния отговор. Те не изоставяха задачата, докато не бяха сигурни, че са я решили правилно. Обикновено успяваха да постигнат съгласие сравнително бързо, и то за правилния отговор. Трудно е да се постигне истинско съгласие относно отговор, който не е верен. Те искаха помощ от мен съвсем рядко, и то само когато много деца наведнъж бяха уверени в правотата си. Не след дълго започнаха да събират 200 + 400, дори 230 + 500, или 340 + 420. Стъпка по стъпка, усложнявайки задачите, децата (не всички, но повечето от тях) сами изведоха по-голяма част от правилата за събиране. За броени минути на ден в продължение на една седмица те покриха материал, който училището бе предвидило да им преподава години наред.

В края на седмицата, тъкмо когато бяха набрали скорост, трябваше да ги напусна и не успях да съдействам на работата им по начин, който да ги стимулира да преминат към пренасяне наум и изваждане. От тези деца видях достатъчно, за да разбера, че ако математиката се възприема подобаващо — като територия, подлежаща на изследване, а не списък с факти за научаване, — повечето (ако не всички) от децата биха навлезли в нея много по-бързо, отколкото можем да си представим.

Джордж фон Хилсхаймер е основател на училище „Грийн Вали“ в Ориндж Сити, Калифорния, както и на други училища и институции, основани на свободата на човека. В брошурата на училището пише:

Мислех, че на първокласниците и второкласниците би им станало интересно да видят как растат числата и да получат конкретна представа за размера на някои от тях. Ето защо един ден купих едно руло за хартия от тези, които се използват в елките, донесох я в стаята на първокласниците и без да кажа нищо, започнах да оразмерявам рулото, полагайки точки на разстояние около пет сантиметра една от друга. Когато натрупах достатъчно точки, започнах да ги номерирам — 1, 2, 3, 4, 5 — по един номер над всяка точка. Както винаги, не след дълго някой дойде да види какво става. Попитаха ме какво правя. Казах им да гледат и ще видят. Поглеждаха за малко, после си отиваха и на тяхно място идваха други. От време на време някое дете питаше: „Това за какво е?“, а аз обикновено не отговарях. Струваше ми се, че въпросът беше: „Ще искат ли от нас да правим нещо във връзка с това?“ Ако някое дете без заобикалки попиташе дали ще трябва и то да направи същото като мен, отговарях: „За Бога, не!“ С времето числата започнаха да нарастват. Когато наближих 100, слухът вече беше плъзнал и децата ме наобиколиха в очакване да го напиша. Този момент им изглеждаше вълшебен — също като момента, в който всички деветки на километража на колата се превръщат в нули.

Накрая едно дете попита:

— Откъде взе хартията?

Казах откъде.

— Може ли и аз да си купя?

— Разбира се — отговорих, — ако си платиш.

Реших, че това ще бъде краят. Изобщо не стана така — на следващия ден две деца дойдоха с пари за рула като моето. Донесох им ги и те се захванаха за работа. Не след дълго повече от десет първокласници и второкласници разграфяваха рула. Някои от тях просто изписваха числата, без да внимават в отстоянието между тях. Други ме имитираха, като внимателно спазваха дистанцията. Цифрите растяха. Много от децата преминаха към стотици. Аз продължих да номерирам моето руло — наложи се да прилепя ново руло към старото, докато стигнах към 1500. Имаше две момчета, които се интересуваха от числа и бяха съревнователно настроени. Те взеха рулата си у дома и не след дълго ме задминаха, приближавайки 2000.

Някои биха задали въпроса (зададоха ми го и тогава): „Каква полза има от това? Какво научават децата?“ Тук, разбира се, се има предвид на какви въпроси ще могат да отговарят децата и какви тестове ще могат да изкарат в резултат на това занимание. Не съм сигурен какво научиха децата. Вероятно всяко дете разбра по нещо различно. Предполагам, че разбраха как нарастват числата и какво е практическото значение на някои от числата, с които боравят по математика. Един ден, когато рулото ми бе станало доста голямо — бях стигнал до към 500 — го развихме докрай. За целта трябваше да обиколим стаята и да излезем в коридора. Децата ходеха от единия до другия му край и с вълнение и любопитство възкликваха: „Ето го 200! Ето го 400!“ и т.н.