МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ - I ЧАСТ (МА – 1)
Хорариум 4 + 3 (60 часа лекции и 45 часа упражнения), I семестър
Анотация: Целта на курса е да запознае студентите с основите на математическия анализ на реалните функции: граница и непрекъснатост, производни и диференциали, интеграли, редици и редове от функции, скаларни и векторни функции на векторен аргумент. Възприет е модерният стил на преподаване с акцент върху метричните пространства и свиващите оператори, както и на концепцията за интеграл на Нютън. Разгледани са и някои основни аспекти на числения математически анализ: елементи на числения анализ и диференциране и интегриране на функция в машинна аритметика.
ТЕОРИЯ
-
Множества и функции – операции с множества, видове функции, композиция на функции, обратна функция.
-
Реални и комплексни числа – определения, основни свойства, геометрично представяне.
-
Метрични пространства – определения и свойства, подмножества на метрични пространства.
-
Числови редици, редове и произведения – определения, критерии за сходимост.
-
Реални функции – числови множества, граница и непрекъснатост на функция, видове точки на прекъсване, равномерна непрекъснатост.
-
Модул на непрекъснатост, условия на Липшиц и Хьолдер – определения, асимптотично поведение, приложения, свиващи оператори.
-
Непрекъснати функции в затворен интервал – теореми на Вайерщрас.
-
Монотонни функции – определения и свойства, елементарни функции.
-
Производни и диференциали – определения, правила за диференциране.
-
Теореми за диференцируеми функции – теореми на Ферма, Рол, Лагранж и Коши; приложения.
-
Формула на Тейлър – определение, съществуване, приложения, формула на Паде.
-
Изследване на функция – дефиниционна област, екстремуми, инфлексии, асимптоти.
-
Примитивна и неопределен интеграл – определения и свойства, пресмятане на примитивна, обобщена примитивна, съществуване на примитивни.
-
Интеграли на Нютън и Риман – определения и свойства, съществуване на интегралите и връзка между тях, приложения.
-
Несобствени интеграли – интеграли в безкраен интервал, интеграли от неограничени функции, главна стойност на несобствен интеграл.
-
Функционни редици и редове – сходимост; непрекъснатост, диференцируемост и интегруемост; ред на Тейлър на функция.
-
Векторни функции на скаларен аргумент и криви – непрекъснатост, диференцируемост и интегруемост; параметризация на крива; допирателна, кривина и дължина на крива.
-
Скаларни функции на векторен аргумент (СФВА) и потенциали - непрекъснатост и диференцируемост, производни, диференциал, матрица на Хесе, формула на Тейлър, криволинеен интеграл от скаларно поле.
-
Векторни функции на векторен аргумент – непрекъснатост и диференцируемост (производни на Гато и Фреше), матрица на Якоби, частни производни на Фреше, формула на Тейлър, криволинеен интеграл от векторно поле, понятие за повърхнина.
-
Неявни функции – определения; съществуване и единственост; методи на бисекцията и простата итерация; непрекъснатост и гладкост на неявна функция; теорема за неявната векторна функция на векторен аргумент, обобщени свиващи оператори.
-
Безусловен екстремум на СФВА – локален и глобален екстремум, необходими и достатъчни условия за локален екстремум, итерационно пресмятане на екстремум.
-
Екстремум на СФВА при ограничения (условен екстремум) – определения, функция на Лагранж, необходими и достатъчни условия за локален условен екстремум.
-
Изпъкнали оптимизационни задачи – определения, линейни задачи, линейно-квадратични задачи.
-
Машинна (крайна) аритметика (МА) – параметри на машинното множество, закръгляне, основна хипотеза на МА, взаимно унищожение.
-
Изчислителни задачи и числени алгоритми – чувствителност и обусловеност на изчислителните задачи; устойчивост, ефективност и надеждност на числените алгоритми; оценка на тоталната грешка; пресмятане на функция в МА.
-
Числено диференциране на функция в МА – схеми за числено диференциране, грешка на схемата, оценка на пълната грешка, адаптивно диференциране.
-
Числено интегриране на функция в МА – схеми за числено интегриране, грешка на схемата, оценка на пълната грешка, адаптивно интегриране.
-
Използване на диалоговите системи MATLAB и MATHEMATICA за числен математически анализ.
Литература по МА - 1 (вкл. по числен математически анализ):
[1] П. Ганчева, М. Константинов. Математически анализ. Част I. Изд. УАСГ, София 2004, www.uacg.bg [учебници .pdf], www.uacg.bg/pw/mmk [учебници .pdf]
Забележка: подготвя се за печат.
[2] М. Константинов. Числени основи на математическите методи. Изд. УАСГ, София 1997, www.uacg.bg [учебници .pdf], www.uacg.bg/pw/mmk [учебници .pdf]
[3] Н. Вълчанов, М. Константинов. Съвременни математически методи за компютърни пресмятания. Част 1 – Основи на компютърните пресмятания, числено диференциране и интегриране. Студии на БИАП по математически науки, т. 1, София 1996, ISBN 954-8949-01-6.
Сподели с приятели: |