Верига с индуктивно, капацитивно и активно съпротивление

На Фиг.1.38 е показана електрическа верига за променлив ток, в която участват последователно свързани трите съпротивления. Тя е снета непосредствено от електронен симулатор. Записани са показанията на съответните измервателни уреди в режима на симулация при посочените параметри на елементите.

Съгласно втория закон на Кирхов, сборът от спадовете на напрежения във външната част от веригата трябва да бъде равен на е.д.н. на източника. Както се вижда от показанията на уредите това не е така. Защо?!

Отговорът на въпроса може да се получи, като се анализира внимателно графиката от Фиг.1.39. Тя е снета непосредствено от осцилоскопа на електронния симулатор, като единият лъч показва спадът на напрежение върху активното съпротивление, а другият - върху индуктивното съпротивление. Токът през трите съпротивления е един и същи и е пропорционален на активния спад с коефициент на пропорционалност R. Вижда се, че има разместване по фаза между двете напрежения, а следователно и между тока и спадът на напрежение върху индуктивността. Вторият закон на Кирхов важи и тук, но само за моментните стойности на напреженията. Волтметрите в случая отчитат ефективните стойности, които са осреднени в рамките на периода.



Фиг. 1.39

Друго, което се вижда от същата графика е това, че за първата четвърт от периода бобината е консуматор на електроенергия. Тогава тя запасява енергия във вид на магнитно поле. Във втората четвърта от същия период магнитното поле около бобината започва да се свива, при което индуктира допълнително е.д.н. в самата бобина. Нейното напрежение става по-високо и за този интервал бобината се превръща в източник. Това продължава и в третата четвъртинка, но в четвъртата четвъртинка бобината отново става консуматор и отново започва процес на запасяване на електроенергия. Следователно в рамките на един период бобината е ту консуматор, ту става източник, което обяснява защо има фазово отместване между тока и напрежението. Интервалът, през който бобината е източник, е показан на графиката със затъмнен сектор.

На Фиг. 1.40 е показана електрическа верига с паралелно свързани индуктивно, капацитивно и активно съпротивления. Различното тук, в сравнение с Фиг.1.38 . е това, че напрежението върху отделните съпротивления е едно и също, а токовете в отделните клонове са различни. Сборът на тези токове, отчетени от показанията на амперметъра, няма да е равен на тока, който се консумира от източника. И тук трябва да се има предвид, че първият закон на Кирхов се отнася за моментните стойности на токовете, а не за ефективните. Наличието на фазови отмествания се обяснява също със запасяването не електроенергия в реактивните елементи.

Логично е човек да си зададе въпросът, какво е това, което се получава, когато се раздели напрежението на захранващия източник от Фиг.1.40. с тока, показван от общия амперметър!? Според законът на Ом това трябва на е съпротивление и това е точно импедансът Z. Ако някой се опита да получи импеданса като сбор от трите съпротивления за схемата от Фиг.1.38, пак ще настъпи провал. Същото би станало и при опита, да се изчисли пълната проводимост от Фиг.1.40 като сбор от проводимостите в отделните паралелни клонове. Защо?



Фиг. 1.41

За да се даде отговор се разглеждат векторните диаграми от Фиг.1.41.

На Фиг.1.41.а) е показана векторната диаграма на напреженията на веригата от Фиг.1.38. Активният спад U_R е във фаза с тока и за това е начертан като вектор, съпосочен с положителната посока на абсцисната ос. На 90⁰ от него са разположени векторите на спадовете върху индуктивността и върху капацитета. Тъй като напрежението в индуктивността изпреварва тока, индуктивният спад е начертан съпосочно с положителната посока на ординатната ос. Капацитивният спад е отразен с вектор, чиято посока следва отрицателната посока на ординатната ос, защото напрежението върху капацитета изостава от тока с 90⁰.

Като се извърши сумиране на двата вектора по съответните правилата, се получава трети вектор, чиято големина се определя от параметъра U, а посоката му се определя от параметъра φ. Тези два параметъра се намират по правилата, известни от геометрията. За намиране на U е удобно да се използва Питагоровата теорема, а именно:

За определяне на ъгълът φ е удобно да се намери най-напред тангенсът на този ъгъл, след което да се намери самият ъгъл, като се използва съответната обратна тригонометрична функция.

Триъгълникът, който се образува от векторите на напреженията, се нарича триъгълник на напреженията. По аналогичен начин от Фиг.1.40. може да се получи триъгълник на токовете и за него ще важи казаното за триъгълника на напреженията. Ако обаче всяка страна от триъгълника на напреженията се раздели с тока, който за Фиг.1.38 е общ за всички съпротивления, ще се получи триъгълникът на съпротивленията. Той е показан на Фиг.1.41.б). в съответния мащаб.

Ако всяка страна от триъгълника на напреженията се умножи с тока във веригата, ще се получи триъгълник на мощностите, а ако всяка страна от триъгълника на мощностите се умножи с времето, ще се получи триъгълник на енергиите.
1.15.Честотни характеристики

Както вече стана ясно, постоянно напрежение не може да се трансформира. Може да се каже, че постоянното напрежение е частен случай на променливо напрежение с честота f=0. Тогава ток с честота от порядъка на 0,001Hz какъв е, променлив или постоянен!? Някой ще каже, че става въпрос за инфраниска честота. Веднага следва въпросът, какво е ниска и висока честота, какво е средна честота? Еднозначен отговор на тези въпроси няма. Въведени са така наречените честотни характеристики, които дават представа за поведението на отделни материали, елементи, възли и устройства при различните честоти, които дават ясна и категорична представа за всеки конкретен случай.

Използват се най-вече два вида честотни характеристики – амплитудно-честотни (АЧХ) и фазово-честотни (ФЧХ). Характерното е, че те се снемат винаги при синусоидално входно въздействие. Амплитудно-честотните характеристики отразяват зависимостта на изходната величина от честотата. За да не се налага поддържането на постоянна входна величина се предпочита да се работи с отношението на изходната величина къмто входната, което е прието да се нарича коефициент на усилване дори и тогава, когато той е по-малък от единица.

Фазово честотната характеристика отразява закъснението по фаза на изходния сигнал при различните честоти. Този проблем е много важен например за качественото възпроизвеждане на музика, където едновременно различните музикални инструменти генерират звуци с различни честоти. Ако те не постъпват едновременно във високоговорителя във вида, в който са генерирани, се получава неприятно за ухото усещане.

Тук е отеделно по-специално внимание на това, какви честоти пропуска трансформатора, кои честоти не пропуска, как се изменя фазата за различните честоти и т.н. На Фиг.1.42. е показана логаритмичната амплитудно-честотна характеристика (ЛАЧХ) на трансформатор. По абсцисната ос е нанесена честотата, а по ординатната ос е нанесен така нареченият логаритмичен коефициент на усилване 20lg(K_u).


Фиг. 1.42

За логаритмичния формат ще стане въпрос след малко. На този етап е важно да се види това, че трансформаторът не пропуска ниските честоти. С увеличаване на честотата пропускателната му способност се увеличава. За интервала от честоти в границите f₁ до f₂ сигналите се пропускат равномерно, докато за твърде високите честоти затихването пак става голямо поради големите загуби от хистерезис и вихрови токове на тези честоти и паразитните капацитети между отделните навивки.

Логаритмичният мащаб е заимстван от акустиката. Установено е, че в ухото действа биологически регулатор, който при силен звук намалява чувствителността му, а при слаб я увеличава. Това не означава, че всички звуци се чуват еднакво силно, защото все пак ухото прави разлика между силен и слаб звук. Ако се слуша музика обаче от усилвател с мощност 1W, тази музика ще се чуе два пъти по-слабо от усилвател с мощност 10W. За три пъти по-силно (от 1W) е необходим усилвател с мощност 100W и т.н. Това точно съответства на хронологията на десетичните логаритми, защото логаритъмът на едно число е степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото.

Въвежда се логаритмичен коефициент на усилване като десетичен логаритъм на отношението на изходната мощност на някакво устройство къмто входната. Измерва се в единицата Бел на името на изобретателя на телефона Александър Бел. Един Бел обаче се оказва много голяма мярка за практическо приложение. За това на практика се работи с една десета от Бела, наречена дециБел.

Когато става въпрос за логаритмичен коефициент за усилване по мощност се използва формулата:

,

а когато става въпрос за усилване по ток или по напрежение, се работи с формулите:

което следва от свойството на логаритмите и от това, че мощността е произведение на тока и напрежението.

Скалата на честотата по абсцисната ос също се чертае в логаритмичен мащаб. Това ще бъде пояснено с пример. За целта ще бъдат изчислени десетичните логаритми на числата от 1 до 9.

В тази таблица се съдържат така наречените мантиси на десетичните логаритми. Числата започват от 1, защото нулата и отрицателните числа нямат логаритми! (Няма как дя се повдигне на степен числото 10 и резултатът да бъде 0 или отрицателно число!)

Цялата част на логаритъма е степента на числото, наричана порядък. Например логаритъмът на числото 10 е 1 защото 10¹=10. Логаритъмът на числото 100 е 2, защото 10²=100. Логаритъмът на числото 130 обаче е 2,48, защото 10^2,48=130. Аналогичен е случая с числото 13. Неговият десетичен логаритъм е 1,48 защото 10^1,48=13.

За разграфяване на абсцисната ос в логаритмичен мащаб се прави специално чертожно помагало от картон. Начинът на изработко е показан на Фиг.1.43, а окончателният му вариант е показан на Фиг.1.44 .

Дължината на картончето се определя от широчината на листа, върху който ще се чертае логаритмичната АЧХ (ЛАЧХ). Обикновено тава става в три или четири декади.

Под декада се разбила честотна лента, която започва от някаква честота и завършва с 10 пъти по-голяма честота. Например от 10Hz до 100Hz е една декада. От 100Hz до 1000Hz е друга декада и т.н. Особеното е, че декадите се разпределят равномерно по абсцисната ос, докато скалата вътре в декадите е неравномерна.


Фиг. 1.44

На Фиг.1.45 е показано как е разграфена абсцисна ос в три декади с помощта на картончето. В началото на координатната система лежи числото 0,1. Това са 100Hz. Трябва да се отбележи, че абсцисната ос никога не започва от нула, поради споменатите по-горе съображения.

Първата декада свършва с 1KHz. До тази стойност са подредени честотите от 200 до 900Hz. Следват честотите 2KHz, 3KHz, 4KHz и т.н. до 9KHz. След това е началото на третата декада 10KHz и след нея се подреждат честотите 20KHz, 30KHz, 40KHz и т.н. до 100KHz.


Фиг. 1.45

За илюстрация ще бъде построена една типична ЛАЧХ на нискочестотен филтър. Такава ЛАЧХ може да има звено, състоящо се от последователно свързана индуктивност и съпротивление, но може да бъде и стрелката на волтметър, роторът на електродвигател, и т.н.. За снемането и при RL верига са нужни сигнал-генератор и осцилоскоп, Задават се различни честоти и се измерва големината на изходното напрежение, като входното се поддържа едно и също. Резултатите се попълват в следната таблица.

Изчислява се логаритмичният коефициент на усилване и се построява графиката от Фиг.1.46.

От тази графика се виждат няколко важни неща. Прави впечатление, че е разположена в четвърти квадрант, т.е. логаритмите са отрицателни. Отрицателните числа нямат логаритми, но числата, по-малки от 1 дават отрицателни логаритми! Има разлика! В случая няма усилвателен елемент и за това коефициентът на усилване е по-малък от единица.

Втората особеност е, че ЛАЧХ върви в началото почти успоредно с абсцисната ос, след което прави чупка и продължава с наклонена права линия надолу. Много е важна честотата, при която става тази чупка, която се нарича срязваща честота, както и ъгълът на наклона на ЛАЧХ. Срязващата честота се намира, като се слезе на ниво 3dB под максималния логаритмичен коефициент на усилване и се издигне (спусне) перпендикуляр към абсцисната ос. Установено е, че срязващата ъглова честота е реципрочна стойност на така наречената времеконстантата Т, която е изключително важен параметър, т.е.

Това е и един от методите за експериментално определяне на времеконстантата от ЛАЧХ.

Наклонът след срязващата честота определя филтриращите свойства на веригата. Вижда се, че ниските честоти преминават безпрепятствено, докато честотите след срязващата честота затихват много бързо. Това определя лентата на пропускане на филтъра.

За трансформаторът се знае, че ако се разменят началото и края на една от двете намотки, фазата между изходното и входното напрежение се обръща на 180⁰. На Фиг.1.47. е показана ФЧХ, на която се вижда, че в областта на ниските честоти фазата се отмества до +90⁰, а в областта на високите честоти – на -90⁰. В работният участък от честоти няма фазово отместване, но ако се размени началото и края, цялата ФЧХ ще се премести със 180⁰ надолу.

При построяването на ФЧХ ъгълът се нанася по ординатната ос в линеен мащаб. По абсцисната ос обаче честотата се нанася в логаритмичен мащаб.

В разговорния език под интегриране се разбира процес на натрупване, обединяване, сумиране. Капацитетът и индуктивността имат свойството да натрупват енергия и при определени условия могат да се нарекат интегриращи елементи. Натрупването на енергия в кондензатора е свързано с увеличаване на напрежението му в съответствие с формулата:

където W е запасената енергия, C е капацитетэт, а U е напрежението върху кондензатора. Аналогичната формула за запасената енергия в индуктивност е:

Вижда се, че при кондензатора напрежението е пропорционално на натрупаната енергия, а при индуктивността – тока. За да се получи интегрираща верига и в двата случая трябва да участва съпротивление R, което има за задача да ограничи тока до зададена стойност.

На Фиг.1.48 са показани две интегриращи вериги, които имат напълно идентични свойства. Първата е със структура RC и като изходна величина се използва напрежението на кондензатора. Втората е със структура RL. При нея интегрираната величина би трябвало да бъде тока, но като изходна величина се използва спадът на напрежение върху съпротивлението, който е пропорционален на тока.

Много важен параметър на интегриращата верига е така наречената времеконстанта Т. При RC веригата тя се определя по формулата:

Т=R.C

Това е и единственото различие при двете схеми. Всички останали изводи, направени за едната се отнасят и за другата. За това ще бъдат анализирани по-подробно свойствата на веригата с активно съпротивление и капацитет, която по-често се използва в практиката.

Нека ключето К от Фиг.1.49 е в състояние 2 и нека в момента на превключването му в положение 1 започне да се следи изменението на изходното напрежение във времето. Приема се също, че в този момент кондензаторът е разреден. Разреденият кондензатор в момента t=0 представлява късо съединение. Токът във веригата в този момент е:

Постепенно кондензаторът се зарежда, с което съпротивлението му се увеличава и токът намалява. Когато кондензаторът се зареди напълно, токът през него практически се прекратява. Престава да тече ток и през съпротивлението, поради което в краищата му престава да се образува спад на напрежението, поради което изходното напрежение става равно на е.д.н. на източника. Практически това става след затихване на преходния процес, а теоретически преходните процеси затихват напълно след безкрайно дълго време. За това установената на изхода стойност се означава като U(∞).

Този процес беше описан с думи, но той може да се опише с формула или с графика. При зададени параметри Т и U(∞).може да се изчисли за всеки момент от време t до каква стойност ще достигне изходното напрежение по формулата:

където е „е” е натуралното число. Ако се задават различни стойности на t и изчислените резултати се запишат в таблица, може по тези данни да се построи графика, която ще има следния вид (Фиг.1.50):

Горната формула описва така наречената експоненциална зависимост, защото в нея участва функцията е^х, а тя се нарича експоненциална функция. От тук и кривата носи името нарастваща експоненциална крива или нарастваща експонента. Графиката като цяло се нарича преходна характеристика и отразява зависимостта на изходната величина от времето при единично входно въздействие. Под единично входно въздействие се разбира единичен импулс с достатъчно голяма продължителност, през която преходният процес да затихне напълно.

Нарастващата експоненциална крива е характерна за много обекти и процеси в природата и техниката – процесът на загряване на телата, пълненето на съд с течност, която изтича през друг отвор, мокренето на почвата, растежа на дърветата, ускоряването на автомобил и т.н. По отношение на кибернетиката това са все обекти за автоматизация, които трябва да се познават и, ако се налага, да се прилага спрямо тях управляващо въздействие. Преходната характеристика се оказва една изключително важна опознавателна характеристика. От нея се снемат два важни параметъра - коефициент на усилване и времеконстанта. Коефициентът на усилване е отношението на изходната величина къмто входната след затихване на преходния процес. Определянето на времеконстантата става по начертаната преходна характеристика. Тя се явява допирателна към експоненциалната крива в началото на координатната система. Отчита се по абсцисната ос от момента, в който допирателната пресича установената стойност.

За бързо определяне на времеконстантата се използва правилото, че процесът е почти затихнал след време, приблизително равно на три пъти времеконстантата. Затихнал преходен процес се смята този, който е навлязъл в 5 процентната зона, когато установената стойност е достигната поне до 95%.

Най-точно времеконстантата може да се определи, като се изчисли до каква стойност ще достигне изходната величина за време t=T. Оказва се, че за време, равно на времеконстантата, изходната величина достига 63,2% от установената си стойност.

Нека преходният процес е завършил и нека сега ключето от горната фигура се превключи от положение 1 в положение 2. Тогава се формира нова електрическа верига, в която източник на е.д.н. става кондензаторът. Запасената в него енергия създава ток, който в момента на превключването е:

където I(0) е токът в t=0, а U(0) е напрежението в същия момент. Това напрежение може да бъде U(∞), но не е задължително, защото не е задължително винаги да се изчаква затихването на преходния процес.

Математическото описание на процеса е следното:

,

което съответства на преходната характеристика от Фиг.1.51. Тази крива се нарича намаляваща експоненциална крива.