декември 11. Линейни изображения

10 декември

11. Линейни изображения.

Нека V, V са две линейни пространства над едно и също поле F;

казваме, че  е изображение на V във V, ако на всеки елемент

x  V e съпоставен единствен елемент  (x)  V;

бележим : V  V;

две изображения  и  наричаме равни ( = ), ако  (x) =  (x) за всяко x  V;

• 
  за всяко x  V и всяко   F е изпълнено  (.x) = .  (x);
  
• 
  за всеки x, y  V e изпълнено  (x+y) =  (x) +  (y);
  

за всеки x, y  V и за всеки ,   F e изпълнено

 (.x+.y) = . (x) + . (y);

Ако V  V, т.е.  e линейно изображение на V в себе си, тогава  се нарича линеен оператор;

за всяко линейно пространство V нека : V  V дефинирано с

 (x) =  за всяко x  V; тогава  е линейно изображение на V в себе си, нарича се нулево изображение (нулев оператор);

за всяко линейно пространство V нека : V  V дефинирано с

 (x) = x за всяко x  V; тогава  е линейно изображение на V в себе си, т.е. линеен оператор;  се нарича единичен оператор;

означава се, че  = id, т.е.  е идентитет;

нека V = R[x]; нека : V  V дефинирано с  ( f(x) ) = f  (x) за всеки полином f (x)  V; в такъв случай  е линеен оператор на V;

нека V = Fn_xn; нека : V  V дефинирано с  ( А ) = А^t за всяка матрица A  V; в такъв случай  е линеен оператор на V;

проверка:  (.A + .B) = (.A + .B)^t = .A^t + .B^t = .  (A) + .  (B) и това е изпълнено за всеки две матрици A, B  V и всеки два скалара

,   F;

• 
   () = , където  e нулевият вектор на V,  е нулевият вектор на V; доказателство:  () =  (0.) = 0. () = ;
  
• 
   (-x) = -  (x) за всяко x  V; доказателство: от определението за линейно изображение при  = -1;
  
• 
  ако a₁, a₂, …, a_k  V е линейно зависима система, то
  

₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k =    =  () =

 (₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k) = ₁.  (a₁) + ₂.  (a₂) + … + _k.  (a_k);

тъй като не всичките _i са нули   (a₁),  (a₂), …,  (a_k) също са линейно зависими;

dimV = n (< ); тогава за всеки базис e₁, e₂, …, e_n на V и всяка

n-орка вектори v₁, v₂, …, v_n  V съществува единствено линейно изображение : V  V, такова че  (e_i) = v_i за всяко i = 1, 2, …, n;

Доказателство:

за всяко x  V съществува еднозначно изразяване на x чрез базиса:

x = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n; нека дефинираме изображение : V  V, такова че  (x) = ₁.v₁ + ₂.v₂ + … + _n.v_n за всяко x  V; тази дефиниция е коректна, тъй като за всеки вектор x  V съществува единствен вектор  (x) – това е така поради единствеността на координатите на x;

за всяко i = 1, 2, …, n имаме, че  (e_i) = v_i;

нека y  V, y = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n; нека ,   F 

 (.x + .y) =  ( (.₁ + .₁).e₁ + (.₂ + .₂).e₂ + … + (._n + ._n).e_n) =

(.₁ + .₁).v₁ + (.₂ + .₂).v₂ + … + (._n + ._n).v_n =

.(₁.v₁ + ₂.v₂ + … + _n.v_n) + .(₁.v₁ + ₂.v₂ + … + _n.v_n) =

.  (x­­) + .  (y)   е линейно изображение;

нека  е линейно изображение, : V  V и

 (e_i) = v_i за всяко i =1, 2, …, n;

тогава за всяко x  V имаме: x = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n  V 

 (x) = ₁.  (e₁) + ₂.  (e₂) + … + _n.  (e_n) = ₁.v₁ + ₂.v₂ + …_n.v_n =

=  (x), тъй като _i са едиствените координати на x спрямо базиса

e₁, e₂, …, e_n   = ;

• 
  за всяко x  V съществува x  V, такъв че  (x) = x (т.е.  е сюрекция);
  
• 
  за всeки x, y  V от x  y   (x)   (y) (т.е.  е инекция);
  

ако съществува биекция : V  V казваме, че V и V са равномощни;

x  V и x  V е един вектор за който  (x) = x;

ако  е линейно изображение и биекция  ^-1 също е линейно изображение;
Ако изображението : V  V е линейно и биективно, казваме че  е изоморфизъм на V върху V; тогава съществува единствено изображение ^-1: V  V и то също е изоморфизъм нa V върху V;

в такъв случай V и V се наричат изоморфни линейни пространства;

означение V  V;
Твърдение: Ако : V  V е изоморфизъм и a₁, a₂, …, a_k  V е линейно независима система, то  (a₁),  (a₂), …,  (a_k) също е линейно независима система във V;

Доказателство:

Нека ₁, ₂, …, _k  F и ₁.  (a₁) + ₂.  (a₂) + … + _k.  (a_k) = 

  (₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k) =  ()  ₁.a₁ + ₂.a₂ + … + _k.a_k = , тъй като  е биекция  ₁ = ₂ = ... = _k = 0, тъй като a₁, a₂, …, a_k са линейно независими   (a₁),  (a₂), …,  (a_k) също са линейно независими;

Доказателство:

Нека V и V са изоморфни  съществува биективно линейно изображение (изоморфизъм) : V  V; нека n = dimV, n = dimV;

нека e₁, e₂, …, e_n е базис на V; от горното твърдение 

 (e₁),  (e₂), …,  (e_n) са линейно независими вектори във V 

n  n; (1)

нека e₁, e₂, …, e_n е базис на V;

тъй като ^-1: V  V също е изоморфизъм, от горното твърдение 

^-1 (e₁), ^-1 (e₂), …, ^-1 (e_n) са линейно независими вектори във V 

n  n; (2)

от (1) и (2)  n = n;

Нека dimV = dimV = n;

oт по-предното твърдение:

нека e₁, e₂, …, e_n е базис на V; e₁, e₂, …, e_n е базис на V;

тогава изображението : V  V дефинирано с

 (x) = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n за всяко x  V, където _i са координатите на x във V, e линейно изображение;

ще проверим, че  е биекция на V върху V;

очевидно всеки вектор x  V, x = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n е образ на вектор x = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n  V   е сюрекция; (1)

нека x, y  V, x  y и

x = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n, y = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n;

да допуснем, че  (x) =  (y) 

₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n = ₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n 

₁ = ₁, ₂ = ₂, …, _n = _n, тъй като e₁, e₂, …, e_n са линейно независими вектори  x = y – противоречие   (x)   (y) 

 е инекция; (2)

от (1) и (2)   е биекция   e изоморфизъм на V върху V  V  V;
Нека n  N, F – поле; известно е, че Fⁿ е линейно пространство над F и dimFⁿ = n;

Следствие: Всяко n-мерно линейно пространство V e изоморфно на Fⁿ, т.е. с точност до изоморфизъм за всяко n  N същестува единствено n-мерно линейно пространство и това е Fⁿ;

в n-мерното линейното пространство V с базис e₁, e₂, …, e_n всеки вектор x  V може да се представи по единствен начин като

₁.e₁ + ₂.e₂ + … + _n.e_n, където _i  F; тъй като (₁, ₂, …, _n)  Fⁿ, линейното изображение, което изпраща всеки вектор x  V във наредената n-орка от координатите му, която е от Fⁿ е изоморфизъм;