Непрекъснатост на елементарните функции. Непрекъснатост на монотонни функции

10. Непрекъснатост на елементарните функции. Непрекъснатост на монотонни функции.

• Непрекъснатост на рационалните функции

Нека функцията f (x) : R  R е константа, т.е. f (x) = C за всяко x  R;

Тогава f (x) е непрекъсната;

Доказателство:

Нека а  R; Избираме  > 0; |f (x) – f (a)| = |C – C| = 0 < ; т.е. каквото и да бъде , условието на Коши е удоволетворено  f (x) е непрекъсната в а;
Нека функцията f (x) : R  R е дефинирана с f (x) = x за всяко x  R;

Тогава f (x) е непрекъсната;

Доказателство:

Нека a  R; Избираме  > 0; |f (x) – f (a)| = |x – a|; ясно е, че ако изберем  = , от |f (x) – f (a)| < |x – a| <  = , получаваме, че f (x) е непрекъсната в а;

• Непрекъснатост на тригонометричните функции

Ще покажем, че sinx е непрекъсната в R;

нека а  R; избираме  > 0;

|sinx – sina| = 2.sin|(x – a)/2|.cos|(x + a)/2|  2.|(x – a)/2| = |x – a|;

използвали сме неравенството |sin|  ||, което е вярно за   R;

нека изберем  =   |sinx – sina|  |x – a| <  =   функцията

sinx е непрекъсната в точката a;

Почти аналогично се доказва, че cosx е непрекъсната в R;

от свойството за частно на непрекъснати функции  tgx е непрекъсната в R\{ /2 + k., k  Z} и cotgx е непрекъсната в

R\{ k., k  Z};

• Непрекъснатост на показателната, логаритмичната и степенната функция

Ще покажем, че f (x) : R  R⁺ дефинирана с f (x) = a^x, a > 0 е непрекъсната в R;

Първо ще покажем, че a^x е непрекъсната в 0;

ще използваме, че { a^1/n} и { a^-1/n} клонят към 1 при n  ;

нека a > 1; тогава a^1/n > a^-1/n за всяко n  N;

избираме  > 0;

тогава съществува индекс N  N, такъв че

|a^1/N - | < 1 и |a^-1/N + | < 1  1 -  < а^-1/N < a^1/N < 1 + ;

избираме  = 1/N; тогава при |x| <  като използваме, че

a^x е растяща за a > 1 получаваме:

1 -  < а^-1/N < a^x < a^1/N < 1 +   |a^x – a⁰| < ; с това показахме, че

a^x е непрекъсната в точката 0 за a > 1; аналогично се показва при

a < 1, а при a = 1 функцията a^x е константа;

нека x₀  R; тогава a^x = a^x0.a^{x – x0}  a^x0 при x  x₀ 

a^x е непрекъсната в R;
Ще покажем, че функцията f (x) : R⁺  R дефинирана с

f (x) = log_ax, a > 0, a  1 е непрекъсната в R⁺;

Ще покажем, че lnx = log_ax.lna е непрекъсната в R⁺;

нека x₀  R;

използваме неравенството (1 + 1/n)ⁿ < e; като използваме, че lnx е растяща получаваме:

(1 + 1/n)ⁿ < e  n.ln(1 + 1/n) < 1  ln (1 + 1/n) < 1/n;

(1 + 1/(n-1))^n-1 < e  (n-1).ln(1 + 1/(n-1)) < 1  ln (n/(n-1)) < 1/(n-1)

 ln (1 – 1/n) > - 1/(n-1);

тогава – 1/(n-1) < ln (1 – 1/n) < ln (1 + 1/n) < 1/n  по теорема на полицаите, че ln (1 – 1/n) и ln (1 + 1/n) клонят към 0 при n  ;

избираме  > 0; тогава съществува N  N, такова че:

-  < ln (1 – 1/N) < ln (1 + 1/N) < ;

избираме  = x₀/N;

тогава от 0 < |x – x₀| <   x₀ -  < x < x₀ +  

1 – 1/N < x/x₀ < 1 + 1/N  -  < ln (1 – 1/N) < lnx – lnx₀ <

 lnx/lna = log_ax е непрекъсната в R⁺;

използваме, че x^ = e^{ . lnx}; по свойството за композиция на непрекъснати функции  x^ е непрекъсната в R⁺;

Доказателство: Нека f (x) е растяща; случ аят, когато е намаляваща се разглежда аналогично;

Ще докажем, че ако f (x) е непрекъсната, то f () е интервал;

Нека x₁, x₂  ; нека y е такова, че f (x₁) < y < f (x₂);

ще покажем, че съществува x  , такова че f (x₀) = y;

образуваме си функцията g (x) = f (x) – y;

g (x₁) = f (x₁) – y < 0, g (x₂) = f (x₂) – y > 0  съществува x₀  (x₁, x₂), такова че g (x₀) = 0  y = f (x₀); с това показахме, че f () също е интервал;

Ще докажем, че ако f () е интервал, то f (x) е непрекъсната;

Нека x₀ е вътрешна точка за ;

тъй като функцията е монотонно растяща, числовото множествo

M = { f (x) | x > x₀ } е ограничено отдолу  то притежава точна долна граница A  f (); аналогично множеството m = { f (x) | x < x₀ } притежава точна горна граница B  f (); ако допуснем, че f (x₀) < A, тогава (f (x₀) + A)/2 < A  f ()  съществува x > x₀, такова че

f (x) = (f (x₀) + A)/2  f (x) < A  A не е точна долна граница на M 

A = f (x₀), аналогично B = f (x₀); фиксираме  > 0; тогава f (x₀) -  не е горна граница на m  съществува x₁ < x₀  , такова че

f (x₀) -  < f (x₁) < f (x₀); избираме  = (x₀ + x₁)/2  за всяко x, такова че

x₀ – x <  имаме f (x₀) -  < f (x) < f (x₀) < f (x₀) +   f (x₀) е лява граница на функцията f (x) при x  x₀; аналогично получаваме, че f (x₀) е дясна граница при x  x₀  f (x) има граница f (x₀) при x  x₀  f (x)

е непрекъсната в точката x₀;

1. 
   
   Каталог: 1kurs
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
   1kurs -> Лекции по увод в програмирането
   1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
   1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
   1kurs -> Седмичен разпис
   
   
   
   Изтегляне 4.23 Mb.
   
   Сподели с приятели: