декември – семинарни занятия Окръжност

Окръжност

Спрямо ОКС Oe₁e₂ в равнината окръжност k с център C (a, b) и радиус R има уравнение –

k: (x – a)² + (y – b)² = R², това уравнение се нарича нормално;

Ако C  O (0, 0, 0), тогава имаме централно уравнение на окръжност:

k: x² + y² = R²;

Ако  e ъгълът, който сключват векторите e₁ и CM, където M е произволна точка от окръжността, тогава получаваме параметрично уравнение на окръжност:

k: x = a + R.cos, y = b + R.sin;
Нека C : a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.a₁₃.x + 2.a₂₃.y + a₃₃ = 0 е произволна крива от втора степен;

тогава C е окръжност, ако:

1. 
   a₁₂ = 0;
   
2. 
   a₁₁ = a₂₂  0;
   
3. 
   a₁₃² + a₂₃² – a₃₃² > 0;
   

нека M₀ (x₀, y₀) е точка и f (x, y) = x² + y² – 2.a.x – 2.b.y + d = 0 е уравнение на окръжност; f (x₀, y₀) наричаме степен на т. M₀ относно окръжността; ако f (x₀, y₀) > 0, точката е външна, ако f (x₀, y₀) < 0, точката е вътрешна, ако f (x₀, y₀) = 0, точката лежи на окръжността;

К: f (x, y) = 0 – окръжност с център C и радиус R;

g: A.x + B.y + C = 0 – права;

1. 
   g  k =   | (C, g)| > R; g – външна права;
   
2. 
   g  k = { T }  | (C, g)| = R; g – допирателна;
   
3. 
   g  k = { T₁, T₂}  | (C, g)| < R; g – секуща;
   

R =  a² + b² – d;

k₁ (C₁, R₁), k₂ (C₂, R₂)

1. 
   k₁, k₂ – външно допиране  |C₁C₂| = R₁ + R₂;
   
2. 
   k₁, k₂ – вътрешно допиране  |C₁C₂| = |R₁ – R₂|;
   

Ъгъл между две окръжности

k₁ (C₁, R₁), k₂ (C₂, R₂); ако k₁  k₂ = { P, Q }, тогава  (k₁, k₂) = , където  е ъгълът между общите допирателни в точка P (точка Q);

cos () =  (|C₁C₂|² – R₁² – R₂²)/(2.R₁.R₂);

• 18 декември

Твърдение: Дадени са четири точки P₁, P₂, P₃, P₄ никои три от които не лежат на една права; нека l_ij = 0 е уравнение на правата P_iP_j,

i  j  { 1, 2, 3, 4 }; тогава снопът криви от втора степен, които минават през четирите точки има уравнение:

S : .l₁₂.l₃₄ + .l₁₃.l₂₄ = 0, (, )  (0, 0);

Доказателство: Кривите k₁ : l₁₂.l₃₄ = 0 и k₂ : l₁₃.l₂₄ = 0 са две разпадащи се криви от втора степен и всяка от тях минава през четирите точки  P₁, P₂, P₃, P₄  всички криви от снопа и са негови основни точки;
Твърдение: Дадени са три точки P₁, P₂, P₃, които не лежат на една права и права g, която минава през P₁ и не минава през P₂, P₃; нека

l_ij = 0 е уравнение на правата P_iP_j, i  j  { 1, 2, 3 } и l = 0 е уравнение на правата g; тогава снопът криви от втора степен, които минават през P₁, P₂, P₃ и се допират до правата g има уравнение:

S : .l₁₂.l₁₃ + .l.l₂₃ = 0, (, )  (0, 0);

Доказателство: Кривите k₁ : l₁₂.l₁₃ = 0 и k₂ : l.l₂₃ = 0 са две разпадащи се криви от втора степен и всяка от тях минава през точките P₁, P₂, P₃  P₁, P₂, P₃  всички криви от снопа и са негови основни точки; освен това l е допирателна за k₁ и образуваща за k₂  l e допирателна към всички криви от снопа;

S : .l₁.l₂ + .l₁₂² = 0, (, )  (0, 0);

Доказателство: Кривите k₁ : l₁.l₂ = 0 и k₂ : l₁₂² = 0 са две разпадащи се криви от втора степен и всяка от тях минава през точките P₁, P₂  P₁, P₂  всички криви от снопа и са негови основни точки; освен това правите l₁, l₂ са образуващи за k₁ и допирателни за k₂  l₁, l₂ са допирателни към всички криви от снопа;
Безкрайни точки на крива от втора степен
Дадена е крива C : f (x, y, t) = a₁₁.x² + … + a₃₃.t² = 0;

Търсим общите точки на C с безкрайната права  : t = 0;

техните координати удоволетворяват системата

a₁₁.x² + a₁₂.x.y + a₂₂.y² = 0;

t = 0;

Ако a₁₁ = a₁₂ = a₂₂ = 0  всяка безкрайна точка  кривата C

Нека (a₁₁, a₁₂, a₂₂)  (0, 0, 0);

Нека (а₁₁, а₂₂)  (0, 0)

тъй като (x, y)  (0, 0)  уравнението е квадратно;

D = a₁₂² – a₁₁.a₂₂ = - A₃₃, където A₃₃ е адюнгираното количество на елемента a₃₃ в матрицата на кривата C;

Ако D > 0  А₃₃ < 0  уравнението има два реални корена и следователно притежава две безкрайни реални точки; тогава кривата се нарича крива от хиперболичен тип;

Ако D = 0  A₃₃ = 0  уравнението има един реален корен, т.е. кривата притежава една безкрайна реална точка; тогава кривата се нарича крива от параболичен тип;

Ако D < 0  A₃₃ > 0  уравнението няма реални корени и кривата не притежава реални безкрайни точки; тогава тя се нарича крива от елиптичен тип;

Ако а₁₁ = а₂₂ = 0  a₁₂  x.y = 0  кривата C има две безкрайни точки, т.е. кривата е от хиперболичен тип;

Полярност
Дадена е крива C : f (x, y, t) = a₁₁.x² + … + a₃₃.t² = 0;

Матрицата на C е A = (a_ij), a_ji = a_ij;

Нека кривата C е неизродена, т.е. detA  0;

Нека т. P (x₀, y₀, z₀) е произволна точка в равнината;

нейните хомогенни координати са:

p₁ = f₁ (P) = a₁₁.x₀ + a₁₂.y₀ + a₁₃.z₀;

p₂ = f₂ (P) = a₂₁.x₀ + a₂₂.y₀ + a₂₃.z₀;

p₃ = f₃ (P) = a₃₁.x₀ + a₃₂.y₀ + a₃₃.z₀;

тъй като детерминантата на тази система е различна от 0, ако са дадени координатите на правата p, еднозначно могат да се определят координатите на точката P; точката P се нарича полюс на правата p спрямо кривата C;
Всяка неразпадаща се крива от втора степен поражда взаимноеднозначно съответствие

: P (x₀, y₀, z₀) <-> p[ f₁ (P), f₂ (P), f₃ (P) ]

Доказателство:

Нека M₀ (x₀, y₀, t₀), M₁ (x₁, y₁, t₁);

M₀  g₁  f₁ (M₁).x₀ + f₂ (M₁).y₀ + f₃ (M₁).t₀ = 0, т.е. f (M₁, M₀) = 0;

но 0 = f (M₁, M₀) = f (M₀, M₁) = f₁ (M₀).x₁ + f₂ (M₀).y₁ + f₃ (M₀).t₁  M₁  g₀;
Нека е дадена точка M (x₀, y₀, t₀)  C;

Нека  (M) = g;

Ако g  C = { M₁, M₂ }, тогава  (M₁) = g₁ и  (M₂) = g₂ са допирателни към кривата C през точката М; това е така, тъй като M₁  g  M  g₁ и M₂  g  M  g₂;
Център на крива от втора степен
Дадена е крива C : f (x, y, t) = a₁₁.x² + … + a₃₃.t² = 0;

Нека detA  0, т.е. кривата C е неизродена;

Нека M₀ (x₀, y₀, t₀);

Имаме:

f₁ (M₀) = a₁₁.x₀ + a₁₂.y₀ + a₁₃.t₀ = 0;

f₃ (M₀) = a₃₁.x₀ + a₃₂.y₀ + a₃₃.t₀ =   0;

тъй като детерминантата на системата е различна от 0

 с точност до ненулев множител системата единствено решение, т.е. всяка неизродена крива от втора степен има точно един център;

M₀ (x₀, y₀, 0) 

f₁ (M₀) = a₁₁.x₀ + a₁₂.y₀ = 0;

f₂ (M₀) = a₂₁.x₀ + a₂₂.y₀ = 0;

тук (x₀, y₀)  (0, 0)  системата има ненулево решение  детерминантата на системата е равна на 0, т.е. A₃₃ = 0  кривата е от параболичен тип  кривите от параболичен тип имат безкраен център; ако A₃₃  0, кривата има краен център M, който удоволетворява системата:

f₁ (M) = a₁₁.x + a₁₂.y + a₁₃.t = 0;

f₂ (M) = a₂₁.x + a₂₂.y + a₂₃.t = 0;
Централно уравнение на крива от втора степен
Фиксирана е афинна координатна система K = { O, e₁, e₂ } ;

Спрямо K е дадена крива от втора степен

C: f (x, y, 1) = a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.a₁₃.x + 2.a₂₃.y + a₃₃ = 0;

Нека кривата C има краен център M (x₀, y₀, 1) спрямо K;

Тогава формулите за смяна са:

x = x + x₀;

y = y + y₀;

C: f (x, y, 1) = a₁₁.(x + x₀)² + 2.a₁₂.(x + x₀).(y + y₀) + a₂₂.(y + y₀)² +

2.a₁₃.(x + x₀) + 2.a₂₃.(y + y₀) + a₃₃ = 0, т.е.

C: f (x, y, 1) = a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.f₁ (M₀).x + 2.f₂ (M₀).y +

+ f (M₀) = 0;

тъй като M₀ е център  f₁ (M₀) = f₂ (M₀) = 0; нека f (M₀) = a₃₃ 

Спрямо K е дадена крива от втора степен

C: f (x, y, 1) = a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.a₁₃.x + 2.a₂₃.y + a₃₃ = 0;
Фиксирана е ортонормирана координатна система K = { O, e₁, e₂ } ;

Спрямо K: e₁ (₁, ₁), e₂ (₂, ₂), ₁.₂ + ₁.₂ = 0, (₁, ₂)  (0, 0),

(₁, ₂)  (0, 0);

Формулите за смяна са:

x = ₁.x + ₂.y

y = ₁.x + ₂.y;

Спрямо K кривата C има уравнение:

C: f (x, y, 1) = a₁₁.(₁.x + ₂.y)² + 2.a₁₂.(₁.x + ₂.y).(₁.x + ₂.y) +

+ a₂₂.(₁.x + ₂.y)² + 2.a₁₃.(₁.x + ₂.y) + 2.a₂₃.(₁.x + ₂.y) + a₃₃ = 0 

C: f (x, y, 1) = a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.a₁₃.x + 2.a₂₃.y + a₃₃ = 0, където

a₁₁ = a₁₁.₁² + 2.a₁₂.₁.₁ + a₂₂.₁²;

a₂₂ = a₁₁.₂² + 2.a₁₂.₂.₂ + a₂₂.₂²;

a₁₂ = ₁.(a₁₁.₂ + a₁₂.₂) + ₁.(a₁₂.₂ + a₂₂.₂);

a₁₃ = a₁₃.₁ + a₂₃.₁;

a₂₃ = a₁₃.₂ + a₂₃.₂;
К = ?, така че а₁₂ = 0;

Разглеждаме следната система:

₂.(a₁₁.₁ + a₁₂.₁) + ₂.(a₁₂.₁ + a₂₂.₁) = 0;

₂.₁ + ₂.₁ = 0;

Решаваме тази система относно ₂ и ₂; тъй като тя е хомогенна, търсим ненулево решение  детерминантата на системата е равна на нула 

a₁₁.₁ + a₁₂.₁ = s.₁

a₁₂.₁ + a₂₂.₁ = s.₁



(а₁₁ – s).₁ + a₁₂.₁ = 0

(а₁₁ – r).₂ + a₁₂.₂ = 0

a₁₂.₂ + (а₂₂ – r).₂ = 0
търсим ненулево решение за ₁, ₁  детерминантата на системата е равна на нула, т.е.

s² – (a₁₁ + a₂₂).s + A₃₃ = 0;

неговата дискриминантата е:

D = (a₁₁ + a₂₂)² – 4.A₃₃ = (a₁₁ – a₂₂)² + 4.a₁₂²  0;

Ако D = 0  a₁₁ = a₂₂, a₁₂ = 0, s₁ = s₂ = (a₁₁ + a₂₂)/2 = a₁₁ = a₂₂; тогава кривата е окръжност;

Ако D > 0  s₁  s₂; за s = s₁ получаваме (₁, ₁) и за r = s₂ получаваме

(₂, ₂), тъй като r също е корен на характеристичното уравнение;

a₁₁ = a₁₁.₁² + 2.a₁₂.₁.₁ + a₂₂.₁² = ₁.(a₁₁.₁ + a₁₂.₁) + ₁.(a₁₂.₁ +

+ a₂₂.₁) = ₁.s₁.₁ + ₁.s₁.₁ = s₁;

a₂₂ = a₁₁.₂² + 2.a₁₂.₂.₂ + a₂₂.₂² = ₂.(a₁₁.₂ + a₁₂.₂) + ₂.(a₁₂.₂ +

+ a₂₂.₂) = ₂.s₂.₂ + ₂.s₂.₂ = s₂;

a₁₂ = 0;

 уравнението на кривата C придобива вида:

C : s₁.x² + s₂.y² + 2.a₁₃.x + 2.a₂₃.y + a₃₃ = 0;

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: