Една изродена крива от елиптичен тип представлява двойка пресичащи се имагинерни прави;
Геометрична интерпретация на полярността
Дадена е неизродена крива C от втора степен и точка P, която не лежи на кривата; точка Q е спрегната на точка P относно кривата C, ако двойното отношение (PQAB) = (PAB)/(QAB) = -1, където точките A и B са пресечните точки на правата PQ с кривата C, т.е. точките
P, Q, A, B образуват хармонична група;
геометричното място от точки Q, които са спрегнати на P относно кривата C е права g, която се нарича поляра на точката P; точката P се нарича полюс на правата g;
казваме, че две прави са спрегнати относно кривата C, ако всяка една от правите минава през полюса на другата;
15 януари – семинарни занятия
Конгруенция криви от втора степен е множеството от кривите от втора степен, които минават през три неколинеарни точки A, B, C;
уравнение на конгруенция:
: .lAB.lBC + .lBC.lCA + .lCA.lAB = 0, (, , ) (0, 0, 0);
Метрични канонични уравнения на повърхнини от втора степен
Фиксираме ортонормирана координатна система K = { O, e1, e2, e3 } ;
Нека спрямо нея е дадена повърхнина S –
S : F (x, y, z) = a11.x2 + 2.a12.x.y + a22.y2 + 2.a13.x.z + … + a44 = 0;
Означаваме с A = (aij) матрицата от коефициентите (aij = aji);
Както при криви:
характеристичният полином на матрицата A се нарича характеристично уравнение на повърхнината:
S3 + А.S2 + B.S + A44 = 0;
тъй като матрицата е симетрична, това уравнение има три реални корена; всеки от тези три корена определя едно главно направление на повърхнината;
ако въведем нова ортонормирана координатна система, така че координатните оси да са по главните направления, коефициентите пред x.y, x.z, y.z ще станат 0; след това чрез подходяща транслация получаваме метрично канонично уравнение на повърхнината;
Елипсоид
Една повърхнина от втора степен е елипсоид, ако тя е неособена (detA 0), A44 0 и всичките характеристични корени s1, s2, s3 са с еднакви знаци; уравнението му е:
: x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1;
записваме уравнението по следния начин:
x2/a2 + y2/b2 = 1 – z2/c2 1 – z2/c2 0 |z| c;
аналогично получаваме: |x| a, |y| b;
показахме, че елипсоидът е ограничена повърхнина, той изцяло се намира между равнините z = -c, z = c; x = -a, x = a; y = -b, y = b;
Нека пресечем елипсоида с равнина z = h, където |h| < c;
получаваме:
z = h;
x2/a2 + y2/b2 = 1 – h2/c2 = const; - това е елипса;
аналогично всички успоредни равнини на координатните равнини, които имат повече от една пресечна точка с елипсоида, го пресичат в елипса;
Нека пресечем елипсоида с координатните оси;
(Ox : y = 0, z = 0) ;
получаваме
x = a, y = 0, z = 0 – Оx пресича в точките A1 (-a, 0, 0), A2 (a, 0, 0);
Оy пресича в точките B1 (0, -b, 0), B2 (0, b, 0);
Оz пресича в точките C1 (0, 0, -c), C2 (0, 0, c);
точките A1, A2, B1, B2, C1, C2 наричаме върхове на елипсоида;
елипсоидът не съдържа реални прави, тъй като е ограничена повърхнина;
ако a = b или b = c получаваме ротационен елипсоид;
ако a = b = c получаваме сфера;
Двоен хиперболоид
Една повърхнина от втора степен е двоен хиперболоид, ако тя е неособена (detA 0), A44 0 и s1 < 0, s2 < 0, s3 > 0; уравнението му е:
: x2/a2 + y2/b2 = z2/c2 – 1;
от уравнението получаваме, че z2/c2 – 1 0 |z| c двойният хиперболоид е разположен изцяло над равнината z = |c| и под равнината z = -|c|;
Нека пресечем хиперболоида с равнина z = h, където |h| > c;
получаваме:
z = h;
x2/a2 + y2/b2 = h2/c2 - 1 = const; - това е елипса;
Нека пресечем хиперболоида с равнина x = m;
получаваме:
x = m;
z2/c2 - y2/b2 = m2/a2 + 1 = const; - това е хипербола;
Нека пресечем хиперболоида с равнина y = n;
получаваме:
y = n;
z2/c2 - x2/a2 = n2/b2 + 1 = const; - това е хипербола;
пресечните точки на с Oz : x = 0, y = 0 са: A1 (0, 0, c) и A2 (0, 0, -c) – те се наричат върхове на хиперболоида;
този хиперболоид няма реална образуваща; ако има права, която принадлежи на , то тя е успоредна на Oxy, тъй като няма точки от хиперболоида за z ( - |c|, |c|);
права l, която е успоредна на Oxy има параметрично уравнение:
x = x0 + .n;
y = y0 + .m;
z = z0;
като заместим в уравнението на хиперболоида получаваме, че имаме 0, 1 или 2 общи точки, т.е. правата l не може да е образуваща;
Елиптичен параболоид
Една повърхнина от втора степен е елиптичен параболоид, ако тя е неособена (detA 0), A44 = 0, s3 = 0 и s1 > 0, s2 > 0; той има следното уравнение:
: x2/a2 + y2/b2 = 2.z;
веднага се вижда, че параболоидът е изцяло разположен в полупространството z 0; с координатните оси има точно една пресечна точка и тя е началото на координатната система – нарича се връх на параболоида;
Нека пресечем параболоида с равнина z = h, където h > 0;
получаваме:
z = h;
x2/a2 + y2/b2 = 2.h = const; - това е елипса;
Нека пресечем параболоида с равнина x = m;
получаваме:
x = m;
y2/b2 = 2.z - m2/a2 ; - това е парабола;
Нека пресечем параболоида с равнина y = n;
получаваме:
y = n;
x2/a2 = 2.z - n2/b2 ; - това е парабола;
ако a = b, параболоидът е ротационен;
Свойство: Ако светлинен лъч минава през фокуса на параболоида, след отражение от повърхността му ще стане успореден на Oz; ако светлинен лъч “влиза” в параболоида по направление успоредно на Oz, тогава след отражение от повърхността му ще мине през фокуса;
Повърхнини съдържащи реални прави
Прост хиперболоид
Една повърхнина от втора степен е прост хиперболоид, ако тя е неособена (detA 0), A44 0, s1 > 0, s2 > 0 и s3 < 0; той има следното уравнение:
H : x2/a2 + y2/b2 - z2/c2 = 1;
от уравнението не следват пряки ограничения за хиперболоида;
Нека пресечем хиперболоида H с равнина z = h;
получаваме:
z = h;
x2/a2 + y2/b2 = 1 + h2/c2 = const; - това е елипса;
Нека пресечем хиперболоида H с равнина x = m;
получаваме:
x = m;
z2/c2 – y2/b2 = m2/a2 - 1 ; - това е хипербола;
Нека пресечем хиперболоида H с равнина y = n;
получаваме:
y = n;
z2/c2 – x2/a2 = n2/b2 - 1 ; - това е хипербола;
пресечните точки на H с Ox : y = 0, z = 0 са: A1 (-a, 0, 0) и A2 (a, 0, 0);
пресечните точки на H с Oy : x = 0, z = 0 са: A1 (0, -b, 0) и A2 (0, b, 0);
хиперболоида H няма пресечни точки с Oz;
Нека запишем уравнението на H по следния начин:
x2/a2 – z2/c2 = 1 – y2/b2 (x/a – z/c).(x/a + z/c) = (1 – y/b).(1 + y/b)
Да разгледаме следните семейства прави l,
: .(x/a + z/c) = .(1 + y/b);
: .(x/a – z/c) = .(1 – y/b), (, ) (0, 0);
и l1, 1:
1 : 1.(x/a + z/c) = 1.(1 – y/b);
1 : 1.(x/a – z/c) = 1.(1 + y/b), (1, 1) (0, 0);
лесно се показва, че правите в двете семейства са две по две кръстосани; освен това тези прави са образуващи за хиперболоида – това е така, тъй като всяка точка, която удоволетворява уравненията на и (1 и 1) удоволетворява и произведението от уравненията им, което е точно уравнението на H;
през всяка точка от хиперболоида минава точно по една права от двете семейства;
Едната система образуващи
Хиперболичен параболоид
Една повърхнина от втора степен е хиперболичен параболоид, ако тя е неособена (detA 0), A44 = 0, s3 = 0, s1 > 0, s2 < 0; той има уравнение:
П : x2/a2 – y2/b2 = 2.z;
ясно е, че с координатните оси параболоида има пресечна точка единствено началото на координатната система; тя се нарича седловидна точка на параболоида;
Нека пресечем параболоида П с равнина z = h;
получаваме:
z = h;
x2/a2 - y2/b2 = 2.h = const; - това е хипербола;
Нека пресечем параболоида П с равнина x = m;
получаваме:
x = m;
y2/b2 = -2.z + m2/a2 ; - това е парабола;
Нека пресечем параболоида П с равнина y = n;
получаваме:
y = n;
x2/a2 = 2.z - n2/b2 ; - това е парабола;
както при простия хиперболоид, уравнението на хиперболичния параболоид можем да запишем по следния начин:
(x/a – y/b).(x/a + y/b) = 2.z;
Да разгледаме следните семейства прави l,
: .(x/a + y/b) = 2.;
: .(x/a – y/b) = .z, (, ) (0, 0);
и l1, 1:
1 : 1.(x/a + y/b) = 1.z;
1 : 1.(x/a – y/b) = 2.1, (1, 1) (0, 0);
това са семейства от праволинейни образуващи на хиперболичния параболоид; те са две по две кръстосани и през всяка точка от параболоида минава точно по една права от двете семейства;
Има и особени повърхнини, които се състоят само от реални прави;
конусът се състои от реални прави, които минават през върха му, а цилиндърът от реални прави, които са успоредни на образуващата му;
например:
x2/a2 + y2/b2 – z2/c2 = 0 е уравнение на конус;
x2/a2 + y2/b2 = 1 е уравнение на елиптичен цилиндър;
x2/a2 – y2/b2 = 1 е уравнение на хиперболичен цилиндър;
y2 = 2.p.x е уравнение на параболичен цилиндър;
Край
16 януари 2002 г.
Сподели с приятели: |