1) .
2) и .
3) Ако е число, то .
4) и , единствено когато .
Два ненулеви геометрични вектора се наричат ортогонални, когато сключват прав ъгъл. По определение нулевият вектор е ортогонален на всеки друг.
5) тогава и само тогава, когато векторите и са ортогонални.
6) , дължината на всеки вектор е равна на квадратния корен от скаларното произведение на вектора със себе си.
По нататък навсякъде ще предполагаме, че е зададена декартова координатна система с ортонормиран базис от единичните вектори , , . По определение , , , (рис. 5.12). Да разгледаме векторите и , зададени чрез техните координати в базиса , , , и . Съгласно формулата (5.5) за взаимните скаларни произведения на базисните вектори намираме и , следователно
(5.5)
Последната формула показва, че скаларното произведение се изразява по твърде лесен начин като сума от произведенията на съответните координати в даден ортонормиран базис и по този начин обосновава предимството на такива базиси. Ако базисът не беше ортонормиран, то формулата (5.5) щеше в общия случай да съдържа девет събираеми. Например ако са дадени векторите и , то за тяхното скаларно произведение намираме .
Дължина на вектор. Съгласно формулата (5.5), за дължината на вектора намираме
(5.6) .
Да разгледаме точките и са зададени чрез техните координати. Тогава за дължината на вектора получаваме
(5.7) .
Ъгъл между вектори. Ако и са два ненулеви вектора, то за ъгъла между тях получаваме формулата
(5.8) .
В частност векторите са ортогонални тогава и само тогава, когато .
Направляващи косинуси. Да разгледаме ненулевия вектор . По определение базисните вектори имат следните координати, , и . Нека , и са ъглите, които сключва със съответните базисни вектори (рис. 5.13).
Рис. 5.13.
Тогава съгласно (5.8) намираме
,
,
,
откъдето веднага може да се провери, че
.
Единичен вектор. Нека е ненулев вектор. Тогава векторът , който се получава от вектора , след като го разделим на неговата дължина , представлява вектор, който има посоката на и има дължина ,
,
(5.9)
Формулите (5.5), (5.6), (5.7), (5.8), (5.9) както и формулите за направляващите косинуси се променят по очевиден начин, когато разсъжденията се провеждат в равнината. За да получим техния равнинен еквивалент е достатъчно да отстраним събираемите, които съдържат третия индекс.
5. Векторно произведение. Нека и са два вектора в пространството. Тяхното векторно произведение винаги се определя като вектор с дължина , където е ъгълът между тях, . От това определение се вижда, че е нулевият вектор тогава и само тогава, когато или или , което означава, че и са колинеарни. Нека и са неколинеарни (всеки от тях е ненулев и не са успоредни). Тогава тяхното векторно произведение се определя като единственият вектор в пространството, който притежава следните свойства (рис. 5.14).
1) .
2) Векторът е ортогонален на и .
3) Векторите , и в този ред образуват дясна тройка.
Рис. 5.15.
Ако приложим векторите и в една точка, то те определят единствена равнина . Дължината на векторното произведение по определение е лицето на пространствения успоредник от равнината , породен от и , освен това векторът е перпендикулярен на равнината . Условията дотук определят точно два вектора, със зададена дължина и перпендикулярни на дадена равнина. Третото условие, векторите , и в този ред да образуват дясна тройка, определя вече еднозначно.
Векторното произведение притежава следните основни свойства, които лесно се проверяват непосредствено от дадените определения.
1) .
2) и .
3) Ако е число, то .
4) , единствено когато и са колинеарни.
Да разгледаме векторите и , зададени чрез техните координати в базиса , , , при което допълнително предполагаме, че координатната система е положително ориентирана, което означава, че базисните вектори , , , взети в този ред, образуват дясна тройка. Да намерим векторното произведение . По определение е единственият вектор с дължина , който е ортогонален едновременно на и , следователно . Аналогично се установява, че взаимните векторни произведения на тези вектори имат вида
, , ,
, , ,
, , .
Горната таблица може да се запомни по следния начин. Във редицата , , , , , векторното произведение на всеки два поредни вектора е равно на вектора след тях и освен това векторното произведение на всеки вектор със себе си дава нулевият вектор, а смяната местата на векторните множители променя единствено знака на произведението. Пресмятаме
По този начин векторното произведение може да се разглежда като стойността на формалната детерминанта
(5.10) ,
в първия ред на която стоят базисните вектори, във втория ред стоят координатите на левия векторен множител, а в третия ред стоят координатите на десния векторен множител, която детерминанта пресмятаме по адюнгираните количества на първия ред.
Пример 5.6. За векторно произведение на векторите и имаме
,
.
Векторното произведение може да се използва за намиране лицето на пространствен успоредник, ако са известни векторите на две негови съседни страни.
Лице на триъгълник. Нека е даден пространственият триъгълник с върхове точките , и . Тогава неговото лице е половината от лицето на успоредника, определен от двата вектора и . За координатите на и имаме
и ,
следователно
,
откъдето за търсеното лице намираме формулата
(5.11) .
Да разгледаме сега равнинния триъгълник с върхове точките , и , зададени чрез своите координати в декартовата координатна система с ортонормиран базис и . Тази равнина можем да разглеждаме като координатна равнина в пространствената декартова координатна система с ортонормиран базис , и , при което върховете на триъгълника ще имат координати , и . Сега от (5.11), за лицето на триъгълника получаваме формулата
(5.12) .
6. Смесено произведение. Смесено произведение на трите пространствени вектора , и се нарича числото, което се получава от скаларното произведение на вектора с вектора
.
Да разгледаме векторите , и , зададени чрез техните координати в базиса , , (координатната система се предполага положително ориентирана). Съгласно формулата (5.10) и правилото за пресмятане на скаларно произведение на вектори с известни координати (в ортонормиран базис), за смесеното произведение намираме
,
следователно смесеното произведение се изчислява като сбор на произведенията на адюнгираните количества на първия ред с координатите на вектора , от което веднага следва, че смесеното произведение е стойността на детерминантата
,
което може да се запише по естествен начин като
(5.13) .
От (5.13) следват всичките основни свойства на смесеното произведение.
1) Ако сменим местата на два вектора в смесеното произведение, то се променя единствено знака. Например и т.н.
2) .
3) .
Твърдение 5.9. Стойността на смесеното произведение е нула тогава и само тогава, когато векторите , и са компланарни (линейно зависими).
Доказателство. От формулата (5.13) следва, че тогава и само тогава, когато детерминантата
,
което от своя страна е налице тогава и само тогава, когато между редовете на тази детерминанта има линейна зависимост. Но всяка линейна зависимост между редовете на детерминантата задава същата линейна зависимост между векторите , и . ■
Геометрична интерпретация на смесено произведение. Да приложим векторите , и в една точка , както е показано на рисунка 5.15 и да разгледаме паралелепипеда, построен върху тези вектори.
Рис. 5.15.
Да положим . Тогава за обема на паралелепипеда знаем формулата , където е неговата височина, която е равна на абсолютната стойност на алгебричната проекция на вектора върху оста на вектора . По тази причина , където е ъгълът между векторите и , . Следователно за обема на паралелепипеда получаваме , което според геометричното определение за скаларно произведение представлява абсолютната стойност на скаларното произведение на векторите и , откъдето, въз основа на геометричното определение за смесено произведение намираме, че търсеният обем се изразява посредством формулата
(5.14) .
Понякога е удобно да се говори за ориентиран обем на паралелепипед, построен върху векторите , и , който се определя като стойността на смесеното произведение .
Обем на тетраедър. Да разгледаме тетраедъра с върхове , , и . Неговият обем е една шеста част от обема на съответния паралелепипед, построен върху векторите
,
,
.
Сега от формулата (5.14) за обем на паралелепипед намираме
.
Сподели с приятели: |