декември – семинарни занятия

6 декември – семинарни занятия

Трансверзала наричаме права, която пресича две кръстосани прави; ако една трансверзала е перпендикулярна и на двете прави, тогава тя се нарича ос на кръстосаните прави;

• 11 декември

Хомогенни координати. Безкрайни елементи в равнината.

Нека е дадена т. М (X, Y) и права g : A.x + B.y + C = 0;

Известно е, че M  g  A.X + B.Y + C = 0;

Казваме, че [A, B, C] са хомогенни координати на правата g спрямо K;

Ясно е, че една права g има безбройно много координати, но всичките тройки координати са пропорционални помежду си, т.е.

g <-> [.A, .B, .C], където   0, (A, B)  (0, 0);

Записваме условието за колинеарност на точката М с правата g по следния начин:

A.X + B.Y + C.1 = 0;

разглеждаме тройката числа (X, Y, 1) – те са съпоставени на M и координатите на М са (X/1, Y/1);

Очевидно е, че .A.X + .B.Y + .C.1 = 0, (  0), т.е. на M можем да съпоставим и числата (.X, .Y, ) по същия начин;

на всяка точка М сме съпоставили числата (x, y, t) – хомогенни координати на точката М; при t  0 казваме, че точката М е крайна;

нехомогенните координати на крайна точка се получават по следния начин: M (x, y, t) <-> M (X, Y), където X = x/t, Y = y/t;

В хомогенни координати правата g има уравнение:

g : A.x + B.y + C.t = 0;

g₁ : A.x + B.y + C₁.t = 0

g₂ : A.x + B.y + C₂.t = 0, където A = , B = - ; (, )  (0, 0);

векторът p ( ,  ), e колинеарен и с двете прави;

g₁  g₂ :

A.x + B.y + C₁.t = A.x + B.y + C₂.t;

тъй като правите не съвпадат  t = 0;

т. U с хомогенни координати (, , 0) очевидно принадлежи и на двете прави, т.е. g₁  g₂ = т. U; точката U се нарича безкрайна точка, определена от направлението (, ); очевидно за безкрайните точки съществуват единствено хомогенни координати;
Дефинираме безкрайна права , която е съвкупността от всички безкрайни точки в равнината; безкрайната права има координати

[0, 0, ]; oчевидно за всяка безкрайна точка (, , 0) имаме

0. + 0. + .0 = 0, т.е. това наистина са координатите на безкрайната права;
Обобщение:

В равнината:
M (x, y, t) – хомогенни координати на точката M;

М₁ (x₁, y₁, t₁)  M₂ (x₂, y₂, t₂)  x₁ = .x₂, y₁ = .y₂, t₁ = .t₂ (  0);

Ако t  0, точката М е крайна и има нехомогенни координати

(x/t, y/t);

Ако t = 0, точката М е безкрайна и е определена от вектора (x, y);

тройката (0, 0, 0) не отговаря на нито една точка;

Всяка права g има хомогенни координати [a, b, c];

g₁ [a₁, b₁, c₁]  g₂ [a₂, b₂, c₂]  a₁ = .a₂, b₁ = .b₂, c₁ = .c₂,   0;

Aко (a, b)  (0, 0), тогава правата g е крайна;

Ако (a, b) = (0, 0), тогава правата g е безкрайната права;

тройката [0, 0, 0] не отговаря на никоя правa;

M (x, y, t)  g [a, b, c]  a.x + b.y + c.t = 0;

Ако M₁ (x₁, y₁, t₁)  M₂ (x₂, y₂, t₂), тогава g = М₁М₂ e единствена;

g: x = .x₁ + .x₂, y = .y₁ + .y₂, t = .t₁ + .t₂, (, ) (0, 0);

g: M = .M₁ + .M₂;

Всяка точка M има координати X, Y, Z спрямо нея;

всяка наредена четворка реални числа (x, y, z, t), за която t  0 и

X = x/t, Y = y/t, Z = z/t наричаме хомогенни координати на точката M; ясно е, че една точка има безброй много хомогенни координати, които се различават по ненулев множител;

Както в равнината, всяко направление в пространството дефинира точно една безкрайна точка; всяка безкрайна точка зададена от направлението (, , ) има хомогенни координати (, , , 0) и очевидно няма нехомогенни координати;

Разглеждаме една равнина

: A.X + B.Y + C.Z + D = 0;

в хомогенни координати това уравнение придобива вида:

: A.x + B.y + C.z + D.t = 0;

наредената четворка [A, B, C, D] наричаме хомогенни координати на равнината , ако (A, B, C, D)  (0, 0, 0, 0);

ако (A, B, C)  (0, 0, 0) получаваме крайна равнина; безкрайната равнина  има хомогенни координати (0, 0, 0, ) и уравнение t = 0;

ако е дадена една равнина, множеството от всички равнини, които са обобщено успоредни на нея задават едно двумерно направление в пространството, което определя една безкрайна права, която лежи в безкрайната равнина ;

Уравнение на права през две точки:

ако g = M₁M₂, M  g  M = .M₁ + .M₂, (, )  (0, 0);

Уравнение на равнина през три неколинеарни точки;

ако  = M₁M₂M₃, M    M = .M₁ + .M₂ + .M₃;
Алгебрични криви от втора степен
Фиксирана е афинна координатна система K = { O, e₁, e₂ } ;
Нека f (X, Y) = a₁₁.X² + 2.a₁₂.X.Y + a₂₂.Y² + 2.a₁₃.X + 2.a₂₃.Y + a₃₃, където a_ij  R, не всичките са нули;
Множеството c от всички точки M (X, Y), за които f (X, Y) = 0, наричаме алгебрична крива от втора степен с уравнение -

C : f (X, Y) = 0;

Нека да преминем към хомогенни координати:

X = x/t, Y = y/t;

получаваме:

C: f (x, y, t) = a₁₁.x² + 2.a₁₂.x.y + a₂₂.y² + 2.a₁₃.x.t + 2.a₂₃.y.t + a₃₃.t²;

това уравнение задава същото множество C от крайни точки, но то може да съдържа и безкрайни точки;

нека M₀ (x₀, y₀, t₀)

за краткост означаваме: f (M₀) = f (x₀, y₀, t₀);
нека A = (a_ij) е матрицата от коефициентите, така че a_ij = a_ji;

Дефинираме:

f₁ (x, y, t) = a₁₁.x + a₁₂.y + a₁₃.t;

f₂ (x, y, t) = a₂₁.x + a₂₂.y + a₁₃.t;

f₃ (x, y, t) = a₃₁.x + a₃₂.y + a₃₃.t;

лесно се проверява, че

f (x, y, t) = f₁ (x, y, t).x + f₂ (x, y, t).y + f₃ (x, y, t).t;

нека M₁ (x₁, y₁, t₁), M₂ (x₂, y₂, t₂)

f (M₁, M₂) = f₁ (M₁).x₂ + f₂ (M₁).y₂ + f₃(M₁).t₂ =

f₁ (M₂).x₁ + f₂ (M₂).y₁ + f₃(M₂).t₁ = a₁₁.x₁.x₂ + a₁₂. (x₁.y₂ + x₂.y₁) + a₂₂.y₁.y₂ + a₁₃. (x₁.t₂ + x₂.t₁) + a₂₃.(y₁.t₂ + y₂.t₁) + a₃₃.t₁.t₂;

очевидно f (M₁, M₂) = f (M₂, M₁); f (M, M) = f (M);

(, )  (0, 0) чрез точките M₁ (x₁, y₁, t₁) и M₂ (x₂, y₂, t₂); за правата g –

т. M₁ се получава при  = 0, точка M₂ се получава при  = 0;

питаме се C  g = ?

C  g = т. M  f (.M₁ + .M₂) = 0  a₁₁.(.x₁ + .x₂)² +

2.a₁₂.(.x₁ + .x₂).(.y₁ + .y₂) + a₂₂.(.y₁ + .y₂)² + 2.a₁₃.(.x₁ + .x₂).(.t₁ + .t₂) + 2.a₂₃.(.y₁ + .y₂).(.t₁ + .t₂) + a₃₃.(.t₁ + .t₂)² = 0 

².(a₁₁.x₁² + 2.a₁₂.x₁.y₁ + a₂₂.y₁² + 2.a_13.x₁.t₁ + 2.a₂₃.y₁.t₁ + a₃₃.t₁²) +

2... (a₁₁.x₁.x₂ + a₁₂.(x₁.y₂ + x₂.y₁) + a₂₂.y₁.y₂ + a₁₃.(x₁.t₂ + x₂.t₁) +

a₂₃.(y₁.t₂ + y₂.t₁) + a₃₃.t₁.t₂) + ².(a₁₁.x₂² + 2.a₁₂.x₂.y₂ + a₂₂.y₂² + 2.a_13.x₂.t₂ + 2.a₂₃.y₂.t₂ + a₃₃.t₂²) = 0 

².f (M₁) + 2...f (M₁, M₂) + ². f (M₂) = 0;

нека за определеност   0; полагаме s = / и получаваме:

f (M₁).s² + 2.s.f (M₁, M₂) + ². f (M₂) = 0;

1. 
   M₁  C  f (M₁)  0;
   

1. 
   D > 0  s₁  s₂ са корени на уравнението  |g  C|= 2 точки; в този случай g се нарича секуща;
   
2. 
   D = 0  s₁ = s₂ - уравнението има единствено решение 
   

1. 
   D < 0  уравнението няма решения  g  C = ; в този случай g се нарича външна права;
   
1. 
   М₁  C  f (M₁) = 0; получаваме:
   

1. 
   Ако f (M₁, M₂)  0  s = - f (M₂)/( 2.f (M₁, M₂) )  g е секуща;
   
2. 
   Ако f (M₁, M₂) = 0 и f (M₂)  0  няма решение  g е допирателна;
   
3. 
   Ако f (M₁, M₂) = 0 и f (M₂) = 0  кривата C съдържа правата g; в този случай правата g се нарича образуваща;
   

Aко е дадена точка M₀ (x₀, y₀, t₀)  C, M (x, y, t)  C и l = MM₀ е допирателна за кривата C  f (M, M₀) = 0;

l : f₁ (M₀).x + f₂ (M₀).y + f₃ (M₀).t = 0;

l – допирателна  ( f₁ (M₀), f₂ (M₀), f₃ (M₀) )  ( 0, 0, 0 );

нека

f₁ (M₀) = a₁₁.x₀ + a₁₂.y₀ + a₁₃.t₀ = 0;

f₃ (M₀) = a₃₁.x₀ + a₃₂.y₀ + a₃₃.t₀ = 0;

тъй като (x₀, y₀, t₀) са хомогенни координати на точката M₀, системата трябва да има ненулево решение   = |a_ij| = 0;

точката М₀ за която f₁ (M₀) = 0, f₂ (M₀) = 0, f₃ (M₀) = 0 се нарича особена точка на кривата C;

една крива притежава особени точки  det A = 0, в този случай кривата се нарича изродена или разпадаща се крива;

Ако detA  0, тогава кривата C няма особени точки и се нарича неизродена;
Твърдение: Във всяка точка на една неизродена крива от втора степен има единствена допирателна с уравнение

l : f₁ (M).x + f₂ (M₀).y + f₃ (M₀).t = 0;

C₁ : g (x, y, t) = 0, A₁ = (a_ij);

C₂ : h (x, y, t) = 0; A₂ = (a_ij); C₁  C₂;
Тогава S : f (x, y, t) = .g (x, y, t) + .h (x, y, t) = 0, (, )  (0, 0) е уравнение на сноп криви от втора степен, определен от кривите C₁, C₂;

S: f (x, y, t) = (.a₁₁ + .a₁₁).x² + …… + (.a₃₃ + .a₃₃).t²;

ако съществуват , , такива че всички коефициенти да се нулират, тогава a_ij и a_ij са пропорционални – противоречие с факта,

че C₁  C₂;

Aко една точка P (x₀, y₀, t₀) лежи на две криви от снопа, тя лежи на всички криви от снопа:

C : ₁.g (x₀, y₀, t₀) + ₁.h (x₀, y₀, t₀) = 0;

C: ₂.g (x₀, y₀, t₀) + ₂.h (x₀, y₀, t₀) = 0;

₁.₂ - ₂.₁  0 (C  C)  g (x₀, y₀, t₀) = h (x₀, y₀, t₀) = 0 

.g (x₀, y₀, t₀) + .h(x₀, y₀, t₀) = 0 за всички ,   P  всички криви от снопа; точка P се нарича основна точка на снопа;

Нека S : f = .g + .h;

1. 
   k₁ : f₁ = ₁.g + ₁.h;
   

k₁  k₂  ₁.₂ - ₂.₁ = 0;

1. 
   Ако точка M не е основна през нея минава точно една крива от снопа;
   
2. 
   Ако точка P е основна и правата l Z P е допирателна към две криви от снопа, то тя е допирателна към всички криви от снопа;
   

• 
  
  Каталог: 1kurs
  1kurs -> Лекции по увод в програмирането
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра
  1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
  1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
  1kurs -> Седмичен разпис
  
  
  
  Изтегляне 2.89 Mb.
  
  Сподели с приятели: