Лекция 6 уравнения на права и равнина Уравнение на права в равнината

Да разгледаме правата , определена от точката , която лежи върху , , и даден направляващ вектор , (рис. 6.11).

Рис. 6.11.

Правата се състои от точките , за които векторът е успореден на , следователно се характеризира чрез равенството , което можем да запишем като , където и са радиус векторите на текущата точка и дадената точка . По този начин получихме векторно параметричното уравнение на правата ,

.

Последното в координатна форма има вида

което се нарича скаларно параметрично уравнение на правата .

(6.11) ,

където е параметър, който може да приема произволни стойности. Сега като изключим параметъра от уравненията на (6.11), за правата получаваме следното представяне

,

което се нарича канонично уравнение на правата. И тук, както при каноничното уравнение на права в равнината, някое от числата , или може да бъде нула, но не и трите едновременно, понеже представляват координатите на ненулевия направляващ вектор .

От последния запис веднага заключаваме, че точката лежи върху правата и векторът е направляващ за , следователно правата има следното параметрично уравнение

Нека правата е определена като пресечница на двете пресичащи се равнини

Да разгледаме общите уравнения на и заедно като система от две линейни уравнения с три неизвестни , и

(6.12) .

По условие равнините и се пресичат, което означава, че техните нормални вектори и не са успоредни и следователно техният ранг е равен на , и съответно за ранга на основната матрица на (6.12) намираме

Последният факт показва, че системата (6.12) е съвместима и неопределена, при което има точно едно свободно неизвестно. Поне един от минорите

е различен от нула, например нека

Тогава системата (6.12) може да се преобразува по метода на Гаус-Жордан с базисни неизвестни и и свободно неизвестно , при което ще приеме вида

която има общо решение

от което веднага получаваме параметричното уравнение на пресечната права .

От друга страна пресечницата лежи едновременно в двете равнини и следователно е перпендикулярна едновременно на двата нормални вектора и , откъдето веднага следва, че векторът се явява направляващ за . Сега за да намерим уравнение за правата е достатъчно за имаме на разположение една (коя да е) точка от нея, което означава да намерим някакво (кое да е) частно решение на линейната система (6.12).

Пример 6.16. Да намерим уравнение за правата , получена от пресичането на равнините и . Тази права има направляващ вектор

.

За да намерим една точка от правата, търсим едно решение на системата

Като положим , получаваме и , следователно точката лежи върху правата , за която намираме следното канонично уравнение

и съответно следното параметрично уравнение

Нека и са две различни точки от пространството. Тогава съществува единствена права , която минава и през двете точки. Тази права има направляващ вектор , следователно правата има уравнение

което се нарича канонично уравнение на права в пространството през две дадени точки.

(6.13)

с дадена точка от нея и даден направляващ вектор и равнината

(6.14)

с нормален вектор . Различаваме следните три основни взаимни разположения.

1) Правата пробожда равнината в една точка .

2) Правата е успоредна на равнината и не лежи в нея, , .

3) Правата лежи в равнината , .

Първият случай е налице, когато векторите и не сключват прав ъгъл, т.е. когато . Пресечната точка лежи върху , следователно за нейните координати имаме

при някоя конкретна стойност на параметъра . За да намерим тази стойност заместваме координатите на в уравнението на равнината и получаваме

или по друг начин

(6.15) ,

което винаги има единствено решение, понеже коефициентът пред в този случай сигурно е различен от нула.

Уравнението, което представлява частен случай на система от едно линейно уравнение с едно неизвестно , (6.15) определя всичките общи точки между правата и равнината , следователно тяхното взаимно разположение изцяло зависи от вида на (6.15). Когато това уравнение има единствено решение (съвместима и определена система), то правата пробожда равнината.

Ако (6.15) няма решения (несъвместима система), то правата и равнината са успоредни, което е вторият случай. Това е налице, когато , т.е. когато векторите и са ортогонални, но другият коефициент е различен от нула, .

Последната възможност за (6.15) е да има безбройно много решения (съвместима и неопределена система), което определя третия случай, когато правата лежи в равнината. Това е налице, когато и другият коефициент е равен на нула, .

Пример 6.18. Да определим взаимното разположение на правата

и равнината . Тук е точка от , а векторът е направляващ за . Равнината има нормален вектор . За да определим взаимното разположение на и съставяме уравнението (6.15), което в дадения конкретен случай има вида , което има единственото решение и следователно правата пробожда равнината. За да намерим координатите на прободната точка , в параметричното уравнение на

заместваме параметъра със стойността , при която стойност се получава точката и намираме, че има координати .

Рис. 6.12.

Горното определение задава два ъгъла, които се допълват до . Нека е ъгълът между направляващият вектор и нормалният вектор . Тогава при всяко взаимно разположение на и е изпълнено , следователно за ъгъла между правата и равнината имаме

.

Разстояние от точка до права. Да разгледаме правата през точката с направляващ вектор , която има канонично уравнение

и нека е дадена точка от пространството. Под перпендикуляр, спуснат от точката към правата се разбира правата , която минава през и пресича дадената права под прав ъгъл в някаква точка (рис. 6.13).

Рис. 6.13.

Нека е равнината през точката и перпендикулярна на правата . Тази равнина има нормален вектор , следователно има уравнение

.

Нека е равнина през точката , която съдържа правата . За тази равнина познаваме два успоредни вектора и , следователно за нейното уравнение имаме

Правата , която минава през точката и е перпендикулярна на дадената права се получава от пресичането на равнините и , .

Дължината на отсечката се нарича разстояние от точката до правата . За да намерим това разстояние да разгледаме успоредника, построен върху векторите и (рис. 6.14).

Рис. 6.14.

За неговото лице имаме на разположение два израза

,

откъдето за търсеното разстояние намираме формулата

и точката . Имаме . Пресмятаме

откъдето намираме

Да разгледаме вектора (рис. 6.15)

Рис. 6.16.

и да образуваме смесеното произведение

.

Очевидно правите и лежат в една равнина тогава и само тогава, когато . Освен това и са успоредни тогава и само тогава, когато .