Лекции и семинарни занятия по линейна алгебра

5. Действия с матрици.

Нека F е поле; ако m, n  N, тогава с Fm_xn означаваме всички матрици с n реда и m стълба с елементи от F.

а₁₁ а₁₂ ……а_1n

a₂₁ a₂₂ ……a_2n

A = (a_ij)_{mx n} = …………………

…………………

a_m1 a_m2 ……a_mn
Да отбележим, че F_1x1  F
Действие 1: Нека   F; дефинираме умножение на матрицата A с числото  = .А;

.а₁₁ .а₁₂ …….а_1n

.a₂₁ .a₂₂ …….a_2n

.A = (a_ij)_{mx n} = ……………………….. .A  Fm_xn;

………………………..

.a_m1 .a_m2 …….a_mn

a₂₁+b₂₁ a₂₂+b₂₂ …… a_2n+b_2n

A + B = (a_ij + b_ij)_{mx n} = ………… ……………………….. A + B  Fm_xn;

…………………………………..

a_m1+b_m1 a_m2+b_m2 ……a_mn+b_mn
Нека О е матрица, О  Fm_xn;

0 0 …… 0

0 0 …… 0

О = …………… , тази матрица наричаме нулева;

……………

0 0 …… 0

За всеки две матрици A, B  Fm_xn са изпълнени:

1. 
   A + B = B + A – комутативност;
   
2. 
   (А + B) + C = A + (B + C) – асоциативност;
   
3. 
   A + O = A за всяко А  Fm_xn;
   
4. 
   А + (-А) = О за всяко А  Fm_xn;
   

Свойствата 2, 3, 4 обуславят група; ако допълнително е изпълнено свойство 1, тогава групата е комутативна; понятието група се дефинира върху произволни обекти при условие, че е въведена някаква абстрактна операция събиране, за която са изпълнени за горните четири свойства;

За всеки две матрици A, B  Fm_xn и произволни  и   F са изпълнени:

5. 
   1.A = A за всяко А  Fm_xn;
   
6. 
   ( + ).A = .A + .A;
   
7. 
   .(A+B) = .A + .B;
   
8. 
   .(.A) = (.).A;
   

Свойства 1 – 8 обуславят линейно пространство.

Умножение на матрици

Нека A = (a_ij)  Fm_xs, B = (b_ij)  Fs_xn; a_ij, b_ij  F; m, n, s  N

Дефиниция: А.B = C = (c_ij), където c_ij = a_i1.b_1j + a_i2.b_2j + … + a_is.b_sj; правилото е “ред” по “стълб”; други правила не важат;

А.B = C  Fm_xn;

Възможно е B.A да не съществува; B.A съществува ако m=n и тогава

А.B  Fm_xm, B.A  Fs_xs; в общия случай m не е равно винаги на s и следователно A.B  B.A; дори ако m=n=s, т.е. A и B са квадратни, от един и същи тип, умножението не е комутативно;

Операциите събиране и умножение са дефинирани за квадратни матрици и за всеки две матрици A и B  Fn_xn:

det(A.B) = det(A). det(B) – това следва от дефиницията за умножение на матрици и теоремата за умножение на детерминанти;
Ако А  Fn_xn съществува А.А, означаваме A²; изобщо A^k, k  N, е матрицата А умножена k пъти на себе си;
може да се случи за A, B  Fn_xn, A, B  O, но A.B = O; такива две матрици се наричат делители на нулата;
Свойства, валидни когато умножение и събиране имат смисъл:

9. 
   (A.B).C = A.(B.C) – асоциативност;
   
10. 
    (A+B).C = A.C + B.C – дясна дистрибутивност;
    
11. 
    C.(A+B) = C.A + C.B – лява дистрибутивност;
    
12. 
    (.A).B = .(A.B) за произволно   F;
    

Свойствата 1 – 4, 9 и 10 обуславят пръстен; свойствата 1 – 12 характеризират алгебра;
Проверка на свойство 9:
(A.B).C = A.(B.C); A, B, C  Fn_xn; A = (a_ij), B = (b_ij), C = (c_ij)

n

Н
k=1

n

n

n

n
ека A.B = D = (d_ij); d_ij =  a_ik . b_kj;

(
l=1

l=1

k=1

l=1

n

k=1
A.B).C = D.C = G = (g_ij); gij =  d_il . c_lj =  ( a_ik . b_kl).c_lj =   a_ik . b_kl. c_lj

n

Н
l=1

k=1

n

n

l=1

n

l=1

n

k=1

n
ека B.C = P = (p_ij); p_ij =  b_il . c_lj;

A
l=1

.(B.C) = A.P = Q = (q_ij); q_ij =  a_ik . p_kj =  a_ik.( b_kl . c_lj) =   a_ik . b_kl. c_lj
 g_ij = q_ij за всяко i, j  { 1, 2, …, n }  G = Q  свойството е изпълнено

Каталог: 1kurs
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по аналитична геометрия
1kurs -> Лекции по увод в програмирането
1kurs -> Лекции по обектно-ориентирано програмиране
1kurs -> Лекции и семинарни занятия по диференциално и интегрално смятане – 1
1kurs -> Седмичен разпис

Изтегляне 2.43 Mb.

Сподели с приятели: